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6. त्रिभुज

प्रश्नावली 6.1

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Q1. कोष्ठकों में दिए शब्दों में से सही शब्दों का प्रयोग करते हुए, रिक्त स्थानों को भरिए : 

(i) सभी वृत्त .......................... होते है | (सर्वांगसम, समरूप) 

(ii) सभी वर्ग........................ होते हैं| (समरूप, सर्वांगसम)         

(iv) सभी ........................ त्रिभुज समरूप होते है | (समद्विबाहु, समबाहु)

(v ) भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि

(i) उनके संगत कोण ...................... हो तथा

(ii) उनकी संगत ......................... भुजाएँ हों | (बराबर, समानुपाती)

हल: 

(i) सभी वृत्त समरूप होते है | 

(ii) सभी वर्ग समरूप होते हैं|    

(iv) सभी समबाहु त्रिभुज समरूप होते है |

(v ) भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि

(i) उनके संगत कोण बराबर हो तथा

(ii) उनकी संगत समानुपाती भुजाएँ हों | 

Q2. निम्नलिखित युग्मों के दो भिन्न -भिन्न उदाहरण दीजिए :

(i) समरूप आकृतियाँ

हल: (i) दो वृत्त और (ii) दो वर्ग

(ii) ऐसी आकृतियाँ जो समरूप नहीं हैं |

हल: (i) वृत्त और वर्ग तथा (ii) त्रिभुज और चतुर्भुज 

Q3. बताइए की निम्नलिखित चतुर्भुज समरूप है या नहीं :

        

हल: नहीं | ​

6. त्रिभुज

प्रश्नावली 6.2

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 Q1. आकृति 6.17 (i) और (ii) में, DE || BC में AD ज्ञात कीजिए :

हल: (i)

Δ ABC में

DE || BC   दिया है | 

अत: आधारभूतिक समानुपातिक प्रमेय से 

​

Q2. किसी त्रिभुज PQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमशः बिन्दु E और F स्थित हैं |  निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति के लिए, बताइए कि क्या EF|| QR है |

(i)   PE = 3.9 cm, EQ= 3cm, PF = 3.6 और FR= 2.4 cm

(ii)     PE = 4 cm, QE = 4.5 cm, PF = 8 cm और RF = 9 cm

(iii)     PQ = 1.28 cm, PR = 2.56 cm, 0.18 cm और PF = 0.36 cm

इसलिए, EF|| QR नहीं है | 

Q7. प्रमेय 6.1 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य -बिन्दु से होकर दूसरी भुजा के समांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्धिभाजित करती है  | (याद कीजिए की आप इसे कक्षा IX में सिद्ध कर चुके हैं|)

​Q8. प्रमेय 6.2 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए की एक त्रिभुज की किन्ही दो भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है | (याद कीजिए की आप कक्षा IX में ऐसा कर चुके हैं ) |

Proved

​

6. त्रिभुज

प्रश्नावली 6.3

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Q1. बताइए कि आकृति 6.34 में दिए त्रिभुजों के युग्मों में से कौन - कौन से युग्म समरूप हैं | उस समरूपता कसौटी को लिखिए जिसका प्रयोग आपने उत्तर देनें में किया है तथा साथ ही समरूप  त्रिभुजों को सांकेतिक रूप  में व्यक्त कीजिए |

 

 

 

हल : (i) 

ΔABC तथा ΔPQR में

∠ABC = ∠PQR = 80°

∠BAC = ∠QPR = 60°

∠ACB = ∠PRQ = 40°

∴ AAA समरूपता कसौटी से

ΔABC ~ ΔPQR

 हल : (ii)   

 

 

 

 

           

हल : (iii) 

​

त्रिभुजों का यह युग्म समरूप नहीं है | 

हल : (iv) 

त्रिभुजों का यह युग्म समरूप नहीं है | 

हल : (v) 

त्रिभुजों का यह युग्म समरूप नहीं है | 

हल : (vi) 

Q2. आकृति 6.35 में, ΔODC ~ ΔOBA, ∠BOC = 125^o और ∠CDO = 70^o  है | ∠DOC, ∠DCO और ∠OAB ज्ञात कीजिए |

 

 

 

 

 हल : ∠DOC + ∠BOC = 180°  (रैखिक युग्म)

⇒ ∠DOC +125^o = 180°

⇒ ∠DOC = 180° -125^o

⇒ ∠DOC = 55^o

अब ΔDOC  में,

 ∠DOC + ∠CDO + ∠DCO = 180°   (त्रिभुज के तीनों कोणों का योग)

⇒ 55^o + 70^o + ∠DCO = 180°  

⇒ 125^o ∠DCO = 180°  

⇒ ∠DCO = 180° - 125^o  

⇒ ∠DCO = 55^o  

ΔODC ~ ΔOBA (दिया है)      

∴ ∠OAB = ∠DCO = 55^o  

समरूप त्रिभुज के संगत कोण बराबर होते हैं|)

​Q3. समलंब ABCD, जिसमे AB || DC है, के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं | दो त्रिभुजों की समरूपता कसौटी का प्रयोग करते हुए,

 

 

 

 

              

Q5. DPQR की भुजाओं PR और QR पर क्रमश: बिंदु S और T इस प्रकार स्थित हैं कि ∠P = ∠RTS है | दर्शाइए कि ΔRPQ ~ ΔRTS  है |

 

 

 

 

 

हल:

दिया है : DPQR की भुजाओं PR और QR पर

क्रमश: बिंदु S और T इस प्रकार स्थित हैं

कि ∠P = ∠RTS है |

सिद्ध करना है : ΔRPQ ~ ΔRTS

प्रमाण : ΔRPQ तथा ΔRTS में,

         ∠P = ∠RTS   (दिया है )

         ∠R = ∠R      (उभयनिष्ठ)

   A.A समरूपता कसौटी से

       ΔRPQ ~ ΔRTS

Q6. आकृति 6.37 में, यदि ΔABE ≅ ΔACD है, तो दर्शाइए कि ΔADE ~ ΔABC है | 

Q7. आकृति 6.38 में, DABC के शीर्षलंब AD और CE परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं तो दर्शाइए कि :  

(i) Δ AEP ~ Δ CDP
(ii) Δ ABD ~ Δ CBE
(iii) Δ AEP ~ Δ ADB
(iv) Δ PDC ~ Δ BEC

हल:

दिया है : DABC के शीर्षलंब AD और CE परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं |

सिद्ध करना है :

(i) Δ AEP ~ Δ CDP
(ii) Δ ABD ~ Δ CBE
(iii) Δ AEP ~ Δ ADB
(iv) Δ PDC ~ Δ BEC

प्रमाण :

 

 

 

 

(i)  Δ AEP तथा Δ CDP में,

    ∠AEP = ∠CDP  (प्रत्येक 90°)

    ∠APE = ∠CPD  (शीर्षाभिमुख कोण)

    A.A समरूपता कसौटी से

    Δ AEP ~ Δ CDP

 

 

 

 

(ii) Δ ABD तथा CBE में

    ∠ADB = ∠CEB  (प्रत्येक 90°)

       ∠B = ∠B     (उभयनिष्ठ)

    A.A समरूपता कसौटी से

    Δ ABD ~ Δ CBE

(iii)  Δ AEP तथा Δ ADB में

    ∠AEP = ∠ADB  (प्रत्येक 90°)

       ∠A = ∠A     (उभयनिष्ठ)

    A.A समरूपता कसौटी से

    Δ AEP ~ Δ ADB

 

 

 

 

(iv) Δ PDC तथा Δ BEC में

    ∠PDC = ∠BEC  (प्रत्येक 90°)

       ∠C = ∠C     (उभयनिष्ठ)

    A.A समरूपता कसौटी से

    Δ PDC ~ Δ BEC

Q8. समान्तर चतुर्भुज ABCD की बढाई गई भुजा AD पर स्थित E एक बिंदु है तथा BE भुजा CD को F पर प्रतिच्छेद करती है | दर्शाइए कि Δ ABE ~ Δ CFB है | 

हल:

 

 

 

 

दिया है : ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है जिसकी बढाई गई भुजा AD पर स्थित E एक बिंदु है तथा BE भुजा CD को F पर प्रतिच्छेद करती है |

सिद्ध करना है : Δ ABE ~ Δ CFB

प्रमाण : ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है |

  ∠AEB = ∠CBE  .... (1) एकान्तर कोण

   Δ ABE तथा Δ CFB में,

      ∠AEB = ∠CBE  समी० (1) से

       ∠A = ∠C  (समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण)

       A.A समरूपता कसौटी से

       Δ ABE ~ Δ CFB

Q9. आकृति 6.39 में, ABC और AMP दो समकोण त्रिभुज है, जिसके कोण B और M समकोण हैं | सिद्ध कीजिए कि :

(i) Δ ABC ~ Δ AMP 

हल:

दिया है : ABC और AMP दो समकोण त्रिभुज है, जिसके कोण B और M समकोण हैं |

सिद्ध करना है :

(i) Δ ABC ~ Δ AMP 

 

 

 

 

 

प्रमाण :

(i)     Δ ABC तथा Δ AMP में

    ∠ABC = ∠AMP  (प्रत्येक 90°)

       ∠A = ∠A     (उभयनिष्ठ)

    A.A समरूपता कसौटी से

    Δ ABC ~ Δ AMP

    

(चूँकि समरूप त्रिभुज के संगत भुजाएँ समानुपाती होतीं हैं |) 

Q10. CD और GH क्रमश: ∠ ACB  और ∠ EGF के ऐसे समद्विभाजक हैं कि बिंदु D और H क्रमश: Δ ABC और ΔFEG की भुजाओं AB और FE पर स्थित हैं | यदि Δ ABC ~ ΔFEG है, तो दर्शाइए कि : 

 

 

 

 

(ii) Δ DCB ~ Δ HGE
(iii) Δ DCA ~ Δ HGF

हल:

दिया है : CD और GH क्रमश: ∠ ACB  और ∠ EGF के ऐसे समद्विभाजक हैं कि बिंदु D और H क्रमश: Δ ABC और ΔFEG की भुजाओं AB और FE पर स्थित हैं और ΔABC ~ ΔFEG है | 

(समरूप त्रिभुज के संगत कोण बराबर होते हैं |)

(i)     Δ ABC तथा Δ AMP में

 

(ii)  Δ DCB तथा Δ HGE में,

      ∠B = ∠E  समी० (2) से

 ∠BCD = ∠EGH  [चूँकि  ½∠C = ½∠G समी० (3) से ]

    A.A समरूपता कसौटी से

     Δ DCB ~ Δ HGE

(iii) Δ DCA तथा Δ HGF में
      ∠A = ∠F  समी० (1) से

 ∠ACD = ∠FGH  [चूँकि  ½∠C = ½∠G समी० (3) से ]

    A.A समरूपता कसौटी से 

      Δ DCA ~ Δ HGF   Proved

Q11. आकृति 6.40 में, AB = AC वाले, एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC की बढाई गई भुजा CB पर स्थित E एक बिन्दु है | यदि AD ⊥ BC और EF ⊥ AC है तो सिद्ध कीजिए कि ΔABD ~ ΔECF है |

हल:

दिया है : AB = AC वाले, एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC की बढाई गई भुजा CB पर स्थित E एक बिन्दु है जिसमें AD ⊥ BC और EF ⊥ AC है

 

 

 

 

सिद्ध करना है :

ΔABD ~ ΔECF

प्रमाण :

ΔABC में,

  AB = AC दिया है;

∴ ∠B = ∠C    ......... (1) (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण ....)

अब, ΔABD तथा ΔECF में

     ∠ADB = ∠EFC (प्रत्येक 90°)

        ∠B = ∠C    समी० (1) से

A.A समरूपता कसौटी से

    ΔABD ~ ΔECF    Proved 

Q12. एक त्रिभुज ABC कि भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज PQR की क्रमशः भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PM के समानुपाती हैं (देखिए आकृति 6.41)| दर्शाइए कि ΔABC ~ ΔPQR है | 

हल:

दिया है : त्रिभुज ABC कि भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज PQR की क्रमशः भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PM के समानुपाती हैं |

 

​​

सिद्ध करना है :

ΔABC ~ ΔPQR 

(चूँकि माध्यिकाएँ AD तथा PM BC तथा QR को समद्विभाजित करती हैं |)

Q13. एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि ∠ADC = ∠BAC है | दर्शाइए कि CA² = CB.CD है |

हल :

दिया है : त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि ∠ADC = ∠BAC है |

 

 

 

 

सिद्ध करना है : CA² = CB.CD

प्रमाण :

अब, ΔADC तथा ΔBAC में

     ∠ADC = ∠BAC ( दिया है )

        ∠C = ∠C    (उभयनिष्ठ)

A.A समरूपता कसौटी से

   ΔADC ~ ΔBAC

         (चूँकि समरूप त्रिभुज के संगत भुजाएँ समानुपाती होतीं हैं |)

या   CA² = CB.CD  (बाई-क्रॉस गुणा करने पर)

Proved 

Q14. एक त्रिभुज ABC की  भुजाएँ AB और AC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज की भुजाओं PQ और PR तथा माध्यिका PM के क्रमशः समानुपाती हैं | दर्शाइए कि ΔABC ~ ΔPQR है |

 

 

 

हल : 

यहाँ माध्यिकाएँ समान अनुपात में हैं इसलिए समान अनुपात की माध्यिकायें जिस भुजा को समद्विभाजित करती है वह भी समानुपाती होता है |

Q15. लंबाई 6m वाले एक उध्वार्धर स्तम्भ की भूमि पर छाया की लंबाई 4m है, जबकि उसी समय एक मीनार की छाया की लंबाई 28 m है | मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए |

​

6. त्रिभुज

प्रश्नावली 6.4 

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Q1. मान लीजिए ΔABC ~ ΔDEF और इनके क्षेत्रफल क्रमशः 64cm²  और 121 cm²  हैं | यदि EF = 15.4 cm² हो, तो BC ज्ञात कीजिए |

 

 

 

 

Q2. एक समलंब ABCD जिसमें AB || DC हैं, के विकर्ण परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं | यदि AB = 2 CD हो तो ΔAOB और ΔCOD के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए |

हल :

दिया है :  ABCD एक समलंब है जिसमें AB || DC हैं,

के विकर्ण परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं | और AB = 2 CD है |

     AB = 2 CD  ( दिया है )

​                          

Q3. आकृति 6.44 में एक ही आधार BC पर दो त्रिभुज ABC और DBC बने हुए हैं | यदि AD,BC कोप O पर प्रतिच्छेद करे, तो दर्शाइए की ar(ABC) /ar(DBC)  AO/DO है |  

हल:       

Q4.यदि दो समरूप तत्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर हों तो सिद्ध कीजिए कि वे त्रिभुज सर्वान्गसम होते हैं|

Q5. एक त्रिभुज ABC  की भुजाओं AB,BC और CA के मध्य - बिन्दु क्रमशः D, E और F हैं | त्रिभुज DEF और त्रिभुज ABC के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए|

Q6. सिद्ध कीजिए कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात इनकी संगत माध्यिकाओं के अनुपात का वर्ग होता है |

Q7. सिद्ध कीजिए कि दो एक वर्ग की किसी भुजा पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल उसी वर्ग के एक विकर्ण पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का आधा होता है |

Q8. ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कोई भुजद BC का मध्य - बिन्दु है | त्रिभुजों ABC और BDE के क्षेत्रफलों का अनुपात है:

(A) 2:1      

(B)  1:2        

(C) 4:1  

(D) 1:4

Q9. दो समरूप त्रिभुजों की भुजाएँ 4:9 के अनुपात में हैं | इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात है :

(A) 2:3      

(B) 4:9      

(C) 81:16    

(D) 16: 81                

6. त्रिभुज

प्रश्नावली 6.5

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Q1. कुछ त्रिभुजों की भुजाएँ नीचे दी गई हैं। निर्धरित कीजिए कि इनमें से कौन-कौन से त्रिभुज समकोण त्रिभुज हैं। इस स्थिति में कर्ण की लंबाई भी लिखिए।

(i) 7 cm, 24 cm, 25 cm (ii) 3 cm, 8 cm, 6 cm

(iii) 50 cm, 80 cm, 100 cm (iv) 13 cm, 12 cm, 5 cm

हल :

(i) 7 cm, 24 cm, 25 cm

कर्ण² = लंब² + आधार²

25² = 7² + 24²

625 = 49 + 576

625 = 625

चूँकि वायां पक्ष और दायां पक्ष बराबर है |

इसलिए ये भुजाएँ समकोण त्रिभुज की है |

अत: कर्ण = 25 cm (सबसे बड़ी भुजा कर्ण होती है )

(ii) 3 cm, 8 cm, 6 cm

हल: निम्न मानों को पाइथागोरस प्रमेय में रखने पर

कर्ण² = लंब² + आधार²

8² = 3² + 6²

64 = 9 + 36

64 = 45

चूँकि वायां पक्ष और दायां पक्ष बराबर नहीं है |

इसलिए ये भुजाएँ समकोण त्रिभुज की नहीं है |

(iii) 50 cm, 80 cm, 100 cm

हल: निम्न मानों को पाइथागोरस प्रमेय में रखने पर

कर्ण² = लंब² + आधार²

100² = 50² + 80²

10000 = 2500 + 6400

10000 = 8900

चूँकि वायां पक्ष और दायां पक्ष बराबर नहीं है |

इसलिए ये भुजाएँ समकोण त्रिभुज की नहीं है |

(iv) 13 cm, 12 cm, 5 cm

हल: निम्न मानों को पाइथागोरस प्रमेय में रखने पर

कर्ण² = लंब² + आधार²

13² = 5² + 12²

169 = 25 + 144

169 = 169

चूँकि वायां पक्ष और दायां पक्ष बराबर है |

इसलिए ये भुजाएँ समकोण त्रिभुज की है |

अत: कर्ण = 13 cm (सबसे बड़ी भुजा कर्ण होती है )

Q2. PQR एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण P समकोण है तथा QR पर बिंदु M इस प्रकार स्थित है कि  PM ⊥ QR है | दर्शाइए कि PM² = QM . MR है |

हल:

दिया है : PQR एक समकोण त्रिभुज है

जिसका कोण P समकोण है तथा QR

पर बिंदु M इस प्रकार स्थित है कि  PM ⊥ QR है |

सिद्ध करना है : PM² = QM . MR

प्रमाण : PM ⊥ QR दिया है |

इसलिए प्रमेय 6.7 से

ΔPMQ ~ ΔPRQ   ...... (1)

इसीप्रकार,

ΔPMR ~ ΔPRQ   ...... (1)

समीकरण (1) तथा (2) से

     ΔPMQ ~ ΔPMR 

Q3. आकृति 6.53 में ABD एक समकोण त्रिभुज है | जिसका कोण A समकोण है तथा AC ⊥ BD है | दर्शाइए कि 

(i) AB² = BC . BD

(ii) AC² = BC . DC

(iii) AD² = BD . CD

हल :

दिया है : ABD एक समकोण त्रिभुज है | जिसका कोण A समकोण है तथा AC ⊥ BD है |

सिद्ध करना है :

(i) AB² = BC . BD

(ii) AC² = BC . DC

(iii) AD² = BD . CD

प्रमाण : (i) ABD एक समकोण त्रिभुज है और

AC ⊥ BD दिया है |

ΔABC ~ ΔABD ...... प्रमेय 6.7 

 

Q4. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है | सिद्ध कीजिए कि AB² = 2AC² है |

हल :

दिया है : ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है

जिसका कोण C समकोण है |

सिद्ध करना है : AB² = 2AC²

प्रमाण : ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है |

  AC = BC  .......... (i)

और ABC एक समकोण त्रिभुज है |

  पाइथागोरस प्रमेय से

      AB² = BC² + AC²

अथवा AB² = AC² + AC²  (समी० 1 से)

अथवा AB² = 2AC² Proved

Q5. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AC = BC है | यदि AB² = 2AC² है, तो सिद्ध कीजिए कि ABC एक समकोण त्रिभुज है |

हल :

दिया है : ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है

जिसमें AC = BC है और  AB² = 2AC² है

सिद्ध करना है : ABC एक समकोण त्रिभुज है |

प्रमाण : AC = BC ....(1) दिया है

और   AB² = 2AC²     ......... (दिया है)

अथवा AB² = AC² + AC² 

अथवा AB² = BC² + AC²  ( समी० 1 से )

अत: पाइथागोरस प्रमेय के विलोम (प्रमेय 6.9) से

ABC एक समकोण त्रिभुज है | Proved

Q6. एक समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा 2a है। उसके प्रत्येक शीर्षलंब की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल : समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा 2a है |

AB = BC = AC = 2a

रचना : AD ⊥ BC डाला |

अत: समकोण त्रिभुज ACD में

पाइथागोरस प्रमेय से,

AC² = AD² + DC² 

(2a)² = AD² + (a)²

4a² = AD² + a²

AD² = 4a² - a²

AD² = 3a²

Q7. सिद्ध कीजिए कि एक समचतुर्भुज की भुजाओं के वर्गों का योग उसके विकर्णों के वर्गों के योग के बराबर होता है।

हल:

दिया है : ABCD एक समचतुर्भुज है जिसकी

भुजाएँ AB, BC, CD तथा AD है | और विकर्ण

AC तथा BD एक दुसरे को O पर प्रतिच्छेद करते हैं |

सिद्ध करना है : AB² + BC² + CD² + AD² = AC² + BD²

प्रमाण : समचतुर्भुज के विकर्ण एक दुसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं | इसलिए,

समकोण ΔAOB में पाइथागोरस प्रमेय से,

AB² = AO² + BO²  …………… (1)

इसीप्रकार ΔBOC, ΔCOD और ΔAOD में,

BC² = CO² + BO²  …………… (2)

CD² = CO² + DO²  …………… (3)

AD² = AO² + DO²  …………… (4)

समी० (1) (2) (3) और (4) जोड़ने पर

AB²+BC²+CD²+AD²=AO²+BO²+CO²+BO²+CO²+DO²+AO²+DO² 

RHS = 2AO² + 2BO² + 2CO² + 2DO²

= 2(AO² + BO² + CO² + DO²) 

Q8. आकृति में ΔABC के अभ्यंतर में स्थित कोई बिंदु O है तथा OD⊥ BC, OE⊥AC और OF⊥ AB है | 

दर्शाइए कि 

(i) OA² + OB² + OC² – OD² – OE² – OF² = AF² + BD² + CE²

(ii) AF² + BD² + CE² = AE² + CD² + BF²

हल: ​

​दिया है : ΔABC के अभ्यंतर में स्थित कोई बिंदु O है तथा OD⊥ BC, OE⊥AC और OF⊥ AB है | 

सिद्ध करना है : 

(i) OA² + OB² + OC² – OD² – OE² – OF² = AF² + BD² + CE²

(ii) AF² + BD² + CE² = AE² + CD² + BF²

प्रमाण: 

समकोण Δ AOF में, पाइथागोरस प्रमेय से 

OA² = AF² + OF²  ......................... (I) 

समकोण Δ BOD में, पाइथागोरस प्रमेय से 

OB² = BD² + OD²  ......................... (II) 

समकोण Δ COE में, पाइथागोरस प्रमेय से 

OC² = CE² + OE²  ......................... (III) 

समीकरण (I), (II) तथा (III) को जोड़ने पर 

OA² + OB² + OC² = AF² + OF² + BD² + OD² + CE² + OE²

OA² + OB² + OC² – OD² – OE² – OF² = AF² + BD² + CE²  Proved I

अब, पुन: 

      OA² + OB² + OC² – OD² – OE² – OF² = AF² + BD² + CE²  

या  AF² + BD² + CE² = OA² + OB² + OC² – OD² – OE² – OF² 

या  AF² + BD² + CE² = (OA² – OE² ) + (OB²  – OF² ) + (OC² – OD²)

या AF² + BD² + CE² = AE² + CD² + BF²  पाइथागोरस प्रमेय से

Q9. 

Q10. 

Q11. 

Q12. 

Q13. किसी त्रिभुज ABC जिसका कोण C समकोण है, की भुजाओं CA और CB पर क्रमश: बिंदु D औए E स्थित है |

सिद्ध कीजिए कि AE² + BD² = AB² + DE² है |  

Q14. किसी त्रिभुज ABC के शीर्ष A से BC पर डाला गया लंब BC को बिंदु D पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि DB = 3CD है |

सिद्ध कीजिए कि : 2AB² = 2AC² + BC² है | 

Q16.  किसी समबाहु त्रिभुज में, सिद्ध कीजिए कि उसकी एक भुजा के वर्ग का तिगुना उसके एक  शीर्षलंब  के वर्ग के चार गुने के बराबर होता है |

 

6. त्रिभुज

प्रश्नावली 6.6 

Q1. आकृति 6.56 में PS कोण QPR का समद्विभाजक है | सिद्ध कीजिए कि QS/SR PQ/PR        है|

           

Q2. आकृति 6.57 में D त्रिभुज ABC के कर्ण AC पर स्थित एक बिन्दु है तथा DM |BC और            DN | AB है | सिद्ध कीजिए कि

(i) DM² = DN.MC    

(ii) DN²  = DM.AN      

Q3. आकृति 6.58 में ABC एक त्रिभुज है जिसमें angle ABC >90^o हा तथा AD| CB है |               सिद्ध  कीजिए की AC² = AB² + BC² + 2BC.BD है |

                

Q4. आकृति 6.59 में ABC एक त्रिभुज है जिसमें angle ABC <90^o है तथा AD| BC है | सिद्ध           कीजिए कि AC² = AB² + BC² - 2 BC.BD है |

 

         

                  

Q5. आकृति 6.60 में AD त्रिभुज ABC की एक माध्यिका है तथा AM|BC है | सिद्ध कीजिए की 

 

 

(i) AC² = AD² + BC. DM + (BC/2)² 

(ii) AB^{2 =} AD² - BC.DM + (BC/2 )² 

(iii) AC² + AB² = 2AD²  + 1/ 2 BC²          

 Q6.सिद्ध कीजिए कि एक समांतर चतुर्भुज के विकार्णों के वर्गों का योग उसकी भुजाओं            के वर्गों के योग के बराबर होता है |

Q7. आकृति 6.61 में एक वृत्त की दो जिवाएँ AB और CD परस्पर बिन्दु प पर प्रतिच्छेद करती        हैं| सिद्ध कीजिए कि 

(i) त्रिभुज APC ~ त्रिभुज DPB

(ii) AP.PB = CP.DP   

                                      

Q8. आकृति 6.62 में एक वृत्त की दो जिवाएँ AB और CD बढ़ाने पर परस्पर बिन्दु P पर                प्रतिच्छेद करती हैं | सिद्ध कीजिए कि

(i) त्रिभुज PAC ~ त्रिभुज PDB

(ii) PA. PB = PC.PD

    

Q9.  आकृति 6.63 में त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि                  BD/CD AB/AC है | सिद्ध कीजिए कि AD, कोण BAC का समद्विभाजक है |  

             

Q10. नाजिमा एक नदी की धारा में मछलियाँ पकड़ रही है | उसकी मछली पकड़ने वाली छड़ का          सिरा पानी की सतह से 1.8 m ऊपर है तथा डोरी के निचले सिरे से लगा काँटा पानी के                सतह पर इस प्रकार स्थित है कि उसकी नाजिमा से दुरी 3.6 m है और छड़ के सिरे के ठीक          नीचे पानी के सतह पर स्थित बिन्दु से उसकी दुरी 2.4m है | यह मानते हुए कि उसकी                डोरी (उसकी छड़ के सिरे से काँटे तक ) तनी हुई है, उसने कितनी डोरी बाहर निकाली हुई है           (देखिए आकृति 6.64) ? यदि वह डोरी को 5 cm /s की दर से अन्दर खींचे, तो 12 सेकंड              के बाद नाजिमा की काँटे से क्षैतिज दुरी कितनी होगी ?