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4. द्विघात समीकरण

प्रश्नावली 4.1 

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Q1. जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण है: 

(i) (x + 1)² = 2(x - 3)

हल :

(x + 1)² = 2(x - 3)

⇒ x² + 2x + 1 = 2x - 6 

⇒ x² + 2x - 2x + 1 + 6 = 0

⇒ x² + 7 = 0 

ax² + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर 

a = 1, b = 0 और c = 7 प्राप्त होता है 

चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है |

(ii) x² - 2x = (-2) (3 - x)

हल :

x² - 2x = - 6 + 2x 

⇒ x² - 2x - 2x + 6 = 0

⇒ x² - 4x + 6 = 0 

ax² + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर 

a = 1, b = - 4 और c = 6 प्राप्त होता है 

चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है |

(iii) (x - 2) (x + 1) = ( x - 1) (x + 3)

हल :  (x - 2) (x + 1) = ( x - 1) (x + 3)

⇒ x² + x - 2x -2  = x² + 3x - x - 3

​⇒ x² - x²+ x + x - 2x + 3x -2 + 3 = 0

​⇒ 2x - x - 1  = 0

ax² + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता  है |

.^.. यह द्विघात समीकरण नहीं है |

(iv) (x - 3) (2x +1) = x( x + 5)  

हल : (x - 3) (2x +1) = x( x + 5)  

 ⇒ 2x² + x - 6x - 3= x² + 5x

⇒ 2x² - 5x - 3= x² + 5x

⇒  2x² - x² - 5x - 5x - 3  =  0

⇒  x² - 10x - 3  =  0

ax² + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर 

a = 1, b = - 10 और c = - 3 प्राप्त होता है 

चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है |

(v) (2x - 1) 2(x - 3 ) = (x + 5) (x - 1)

हल :  (2x - 1) 2(x - 3 ) = (x + 5) (x - 1) 

⇒ (2x - 1) (2x - 6 ) = (x + 5) (x - 1) 

⇒ 4x² - 12x - 2x + 6 = x² + 4x - 5 

⇒ 4x² - 14x + 6 = x² - x + 4x - 5 

⇒ 4x² - x² - 14x - 4x + 6 + 5 = 0

⇒  3x² - 18x + 11  =  0

ax² + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर 

a = 3, b = - 18 और c = 11 प्राप्त होता है 

चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है |

(vi) x² + 3x + 1 = (x - 2)² 

हल : x² + 3x + 1 = (x - 2)² 

⇒  x² + 3x + 1 = x² - 2x +4

⇒x² - x² + 4x + 3x + 1 - 4 = 0

⇒ 7x - 3 =  0

ax² + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता  है |

.^.. यह द्विघात समीकरण नहीं है |

(vii) (x + 2)³ = 2x(x² - 1) 

हल :(x + 2)³ = 2x( x² - 1) 

⇒ x³ + 8 + 6 + 12x = 2x³ - 2x

⇒ 2x³ - x³ - 6-12x + 2x  - 8 = 0

⇒  x³ - 6x² -10x - 8 =0

ax² + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता  है |

.^.. यह द्विघात समीकरण नहीं है |

(viii) x³ - 4x² - x + 1 = (x - 2 )³  

हल : x³ - 4x² - x + 1 = (x - 2 )³  

⇒x³ - 4x² - x + 1  = x³ - 8 + 6x² + 12x

⇒ x³ - x³ -  4x² + 6x² -12x + 1 = 0

⇒  2x² -13x + 1 = 0

ax² + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर 

a = 2, b = - 13 और c = 1 प्राप्त होता है 

चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है |

Q2. निम्न स्थितियों को द्विघात समीकरणों के रूप में निरुपित कीजिए :

(i) एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल 528 m² है | क्षेत्र की लंबाई (मीटरों में) चौड़ाई के दुगुने से एक अधिक है | हमें भूखंड की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है |

हल :   एक  आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल = 528 m²

 माना आयताकार भूखंड की चौड़ाई = x m

 आयताकार भूखंड की लंबाई  = 2x + 1 m 

 आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल = 528 m²

लंबाई x चौड़ाई = 528 

(2x + 1)x = 528 

2x² + x = 528 

2x² + x - 528 = 0

2x² + 33x - 32x - 528 = 0

x(2x + 33) - 16(2x + 33 ) = 0

(2x + 33) (x - 16) = 0

2x + 33 = 0 तथा x - 16 = 0

(ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णाकों का गुणनफल 306 है | हमें पूर्णाकों को ज्ञात करना है |

हल : दो क्रमागत धनात्मक पूर्णाकों का गुणनफल  = 306 

 माना पहला धनात्मक पूर्णाक  = x

दूसरा धनात्मक पूर्णाक  = x + 1  

दो क्रमागत धनात्मक पूर्णाकों का गुणनफल = 306 

पहला धनात्मक पूर्णाक x दूसरा धनात्मक पूर्णाक = 306   

(x + 1)x    = 306

x² + x = 306 

x² + x - 306 = 0

2x² + 18x - 17x - 306 = 0

x(x + ) - 17(x + 18 ) = 0

(x + 18) (x - 17) = 0

x + 18 = 0 तथा x - 17 = 0

                    = 18

(iii) रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है |उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल अब से तीन वर्ष पश्चात् 360 हो जाएगी| हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करणी है |

हल : माना रोहन की वर्तमान आयु  = x

         रोहन की माँ की आयु  = x + 26

तीन वर्ष पश्चात रोहन की आयु  = x + 3  

तीन वर्ष पश्चात रोहन की माँ की आयु   = x + 26 + 3

                                   = x + 29

 दोनो की आयु का गुणनफल = 306 

(x + 29)(x + 3) = 306   

x² + 29x + 3x + 87 = 306 

x² + 32x + 87 = 306          

x² + 32x = 273

x² + 32x - 273 = 0

x² + 39x - 7x - 273 = 0

x² + 39x - 7x - 273 =0 

x(x + 39) - 7(x + 39) = 0

(x + 39) (x - 7) = 0

x + 39 = 0 तथा x - 7 = 0

(iv) एक रेलगाड़ी 480 km की दुरी समान चाल से तय करती है | यदि इसकी चाल 8 km/h कम होती, तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घंटे अधिक लेती | हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है|

हल : 

माना रेलगाड़ी की समान्य चाल x km/h है |

दुरी = 480 km

4. द्विघात समीकरण

 

4. द्विघात समीकरण

प्रश्नावली 4.3

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Q1. यदि निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूलों का अस्तित्व हो तो इन्हें पूर्ण वर्ग बनाए की विधि द्वारा ज्ञात कीजिए |

(i)  2x² - 7x + 3 = 0 

(ii)  2x² + x - 4 = 0 

 (iii) 4x² +4 3x + 3 = 0

 (iv) 2x² + x + 4 = 0 

हल : 2x² - 7x + 3 = 0

a = 2, b = -7 और c = 3

D = b² - 4ac

D = (7)² - 4x2x3

D = 49 - 24

D = 25 

b² - 4ac > 0 अर्थात D > 0 अत: इस समीकरण के दो वास्तविक एवं असमान मूल होंगे |

2x² - 7x + 3 = 0 

दोनों पक्षों में 8 से गुणा करने पर 

8(2x² - 7x + 3 = 0) 

16x² - 56x + 24 = 0 

( (4x)² - 2.4x.7 + (7)² ) - (7)² + 24 = 0   ( a² - 2ab + b² = (a - b)² )

(4x - 7)² - 49 + 24 = 0 

(4x - 7)² - 25 = 0

(4x - 7)² = 25

4x - 7 = 25

हल : (ii)  2x² + x - 4 = 0 

a = 2, b = 1 और c = -4

D = b² - 4ac

D = (1)² - 4x2x(-3)

D = 1 + 24

D = 25 

b² - 4ac > 0 

अत: इस समीकरण के दो वास्तविक और असमान मूल होंगे |

2x² + x - 4 = 0 

दो से भाग देने पर 

अत: इस समीकरण के दो वास्तविक और असमान मूल होंगे |

2x² + x - 4 = 0 

दो से भाग देने पर 

हल : (iv) 2x² + x + 4 = 0 

a = 2, b = 1, c = 4

D = b² - 4ac

D = (1)² - 4 × 2 × 4

D = 1 - 32

D = -31 

b² - 4ac < 0 अर्थात D < 0

अत: इस समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है |

Q2. उपर्युक्त प्रश्न 1 में दिए गए द्विघात समीकरणों के मूल, द्विघाती सूत्र का उपयोग करके, ज्ञात  कीजिए |

हल : प्रश्न 1 में वे प्रश्न जिनका मूलों का अस्तित्व है -

(i)  2x² - 7x + 3 = 0 

(ii)  2x² + x - 4 = 0 

हल : (i)  2x² - 7x + 3 = 0 

द्विघाती सूत्र द्वारा :

a = 2, b = - 7, c = 3 

हल : (ii)  2x² + x - 4 = 0 

द्विघाती सूत्र द्वारा :

a = 2, b = 1, c = - 4

Q3. निम्न समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :

द्विघाती सूत्र से -

हल : माना रहमान की वर्त्तमान आयु x वर्ष है |

तो प्रश्नानुसार, 3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु = x - 3 वर्ष 

=> x² + 2x - 15 = 3(2x + 2)

=> x² + 2x - 15 = 6x + 6

=> x² + 2x - 6x - 15 - 6 = 0

=> x² - 4x - 21 = 0

=> x² - 7x + 3x - 21 = 0

=> x(x - 7) + 3(x - 7) = 0

=> (x - 7) (x + 3) = 0

=> x - 7 = 0, x + 3 = 0

=> x = 7 और x = - 3

अत: वर्त्तमान आयु धनात्मक संख्या 7 लेंगे | अत: रहमान की वर्त्तमान आयु 7 वर्ष है | 

Q5. एक क्लास टेस्ट में शेफाली के गणित और अंग्रेजी में प्राप्त किए गए अंकों का योग 30 है | यदि उसको गणित में 2 अंक अधिक और अंग्रेजी में 3 अंक कम मिले होते, तो उनके अंकों का गुणनफल 210 होता | उसके द्वारा दोनों विषयों में प्राप्त किए अंक ज्ञात कीजिए |

हल : माना गणित में प्राप्त अंक x है |

इसलिए, अंग्रेजी में प्राप्त अंक = 30 - x

प्रश्नानुसार, (x + 2) (30 - x - 3) = 210

या   (x + 2) (27 - x) = 210

या   27x - x² + 54 - 2x = 210

या   25x - x² + 54 = 210

या   x² - 25x + 210 - 54 = 0

या   x² - 25x + 156 = 0

या   x² - 12x - 13x + 156 = 0

या   x(x - 12) - 13(x - 12) = 0

या   (x - 12) (x - 13) = 0

या   x - 12 = 0, x - 13 = 0

या   x = 12 अथवा x = 13

अब यदि x = 12 तो गणित में प्राप्त अंक = 12 और अंग्रेजी में प्राप्त अंक = 30 - 12 = 18

और यदि x = 13 तो गणित में प्राप्त अंक = 13 और अंग्रेजी में प्राप्त अंक = 30 - 13 = 17 

Q6. एक आयताकार खेत का विकर्ण उसकी छोटी भुजा से 60 मीटर अधिक लंबा है | यदि बड़ी भुजा छोटी भुँजा से 30 मीटर अधिक हो, तो खेत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए |

हल : माना सबसे छोटी भुजा = x m

तो बड़ी भुजा = x + 30 m और

विकर्ण = x + 60 m

प्रश्नानुसार,

चूँकि ABCD एक आयत है जिसका प्रत्येक कोण समकोण है इसलिए ABC में,

पैथागोरस प्रमेय के प्रयोग से -

    AC² = AB² + BC²

=> (x + 60)² = (x)² + (x + 30)²

=> x² + 120x + 3600 = x² + x² + 60x + 900

=> x² + 120x + 3600 = 2x² + 60x + 900

=> 2x² - x² + 60x - 120x + 900 - 3600 = 0

=> x² - 60x - 2700 = 0

=> x² - 90x + 30x - 2700 = 0

=> x(x - 90) + 30(x - 90) = 0

=> (x - 90) (x + 30) = 0

=> x - 90 = 0, x + 30 = 0

=> x = 90 और x = - 30

चूँकि आयता की लंबाई धनात्मक होती है इसलिए x = 90 ऋणात्मक नहीं होती

अत: छोटी भुजा = 90 m

तो बड़ी भुजा = 90 + 30 = 120 m

और विकर्ण = 90 + 60 = 150 m  

Q7. दो संख्याओं के वर्गों का अन्तर 180 है | छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का आठ गुणा है | दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए |

हल : माना बड़ी संख्या = x

तो छोटी संख्या का वर्ग = 8x

प्रश्नानुसार,

बड़ी संख्या का वर्ग - छोटी संख्या का वर्ग = 180

   x² - 8x = 180

या  x² - 8x - 180 = 0

=>  x² - 18x + 10x - 180 = 0

=> x(x - 18) + 10(x - 18) = 0

=> (x - 18) (x + 10) = 0

=> x - 18 = 0, x + 10 = 0

=> x = 18 और x = -10

अत: बड़ी संख्या 18 है, x = - 10 नहीं लिया जा सकता |

अब (छोटी संख्या)² = 8 × 18 = 144

Q8. एक रेलगाड़ी एक समान चाल से 360km की दुरी तय करती है | यदि यह चाल 5 km/h अधिक होती, तो वह उसी यात्रा में 1 घंटा कम समय लेती | रेलगाड़ी की चाल ज्ञात कीजिए |

हल : माना रेलगाड़ी की समान्य चाल = x km/h

तय दुरी = 360 km 

चाल बढ़ने से समय घट जाता है चाल घटा देने से लिया गया समय बढ़ जाता है | 

चूँकि गाड़ी की चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती है इसलिए चाल = 40 km/h

हल : माना छोटा नल, टंकी को अकेले x घंटे में भरता है |

तो बड़ा ब्यास वाला नल टंकी भरेगा = x - 10 घंटे में 

(x = 30/8 संभव नहीं है क्योंकि यह 10 घंटा से भी कम है )

अत: छोटा ब्यास वाला नल अकेला भरेगा - 25 घंटे में

तो बड़ा व्यास वाला नल भरेगा 25 - 10 = 15 घंटे में    

Q10. मैसूर और बैंगलोर के बीच के 132 km यात्रा करने में एक एक्सप्रेस रेलगाड़ी, सवारी गाड़ी से 1 घंटा समय कम लेती है (मध्य के स्टेशनों पर ठहरने का समय ध्यान में न लिया जाए )| यदि एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल, सवारी गाड़ी की चाल से 11 km/h अधिक हो, तो दोनों रेलगाड़ी की औसत चाल ज्ञात कीजिए |

हल : माना सवारी गाड़ी की समान्य चाल = x km/h

तो एक्सप्रेस गाड़ी की समान्य चाल = x + 11 km/h

मैसूर और बैंगलोर की बीच की दुरी = 132 km 

- 44 एक रेलगाड़ी की चाल नहीं हो सकता इसलिए x = 33 लेंगे

अत: सवारी गाड़ी की चाल = 33 km/h और

एक्सप्रेस गाड़ी की चाल = 33 + 11 = 44 km/h

Q11  दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग 468 m²  है | यदि उनके परिमापों का अन्तर 24m हो, तो दोनों की भुजाएँ ज्ञात कीजिए|

हल : माना एक वर्ग की एक भुजा = x m और दुसरे वर्ग की भुजा = y m

पहला का परिमाप = 4x m और दुसरे का परिमाप = 4y m

प्रश्नानुसार, स्थित I

4x - 4y = 24 

 x = 18, x = - 12 (वर्ग की भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती इसलिए x = -12 नहीं ले सकते हैं )

पहले वर्ग की भुजा = 18 m तो दुसरे की भुजा = 18 - 6 = 12 m 

4. द्विघात समीकरण

प्रश्नावली 4.4

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Q1. निम्न द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए | यदि मूलों का अस्तित्व हो तो उन्हें ज्ञात कीजिए :

(i)  2x² - 3x + 5 = 0 

(ii) 3x² ​ - 4√3x + 4 = 0 

(iii) 2x² + 6x + 3 = 0  

{नोट - मूलों की प्रकृति ज्ञात करने के लिए विवितकर (Discriminant) अर्थात D = b² - 4ac ज्ञात करेंगे | 

यदि D का मान 0 है (D = 0) तो प्रकृति - दो वास्तविक और समान मूल होंगे, और D का मान 0 से अधिक अर्थात धनात्मक है (D > 0) तो प्रकृति - दो वास्तविक और असमान मूल होगा और यदि D का मान 0 से कम है अर्थात ऋणात्मक है (D < 0) तो मूल का कोई अस्तित्व नहीं होगा अर्थातकोई मूल नहीं होगा |}

हल : (i)  2x² - 3x + 5 = 0 

a = 2, b = -3 और c = 5

D = b² - 4ac

  = (-3)² - 4 × 2 × 5

  = 9 - 40 

  = -31 

चूँकि D का ऋणात्मक मान यह बताता है कि D < 0 से अत: द्विघात समीकरण का कोई मूल नहीं है | 

हल : (ii) 3x² ​ - 4√3x + 4 = 0 

​a = 3, b = - 4√3 और c = 4 

D = b² - 4ac

  = (-4√3)² - 4 × 3 × 4

  = 48 - 48

  = 0 

चूँकि D = 0 है अत: इसके दो वास्तविक एवं समान मूल होंगे |

हल : (iii) 2x² + 6x + 3 = 0  

a = 2, b = 6 और c = 3

D = b² - 4ac

  = (6)² - 4 × 2 × 3

  = 36 - 24

  = 12

चूँकि D > 0 से अत: इस समीकरण के दो वास्तविक एवं असमान मूल होंगे |

Q2. निम्न प्रत्येक द्विघात समीकरण में k का ऐसा मान ज्ञात कीजिए कि उसके दो बराबर मूल हों |

(i) 2x² + kx + 3 = 0 

(ii) kx (x - 2 ) + 6 = 0

हल : (i) 2x² + kx + 3 = 0 

a = 2, b = k और c = 3

चूँकि दिए गए समीकरण के दो बराबर मूल है अर्थात 

हल : (ii) kx (x - 2 ) + 6 = 0

=> kx² - 2kx + 6 = 0

a = k, b = - 2k, c = 6

चूँकि दिए गए समीकरण के दो बराबर मूल है अर्थात 

Q3. क्या एक ऐसी आम की बगिया बनाना संभव है जिसकी लंबाई, चौड़ाई से दुगुनी हो और उसका क्षेत्रफल 800 m² हो? यदि है, तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए |

हल : माना आम की बगिया की चौड़ाई = x m

                        तो लंबाई = 2x m

अब, लंबाई × चौड़ाई = क्षेत्रफल

अत: चौड़ाई = 20 m और

लंबाई = 2x = 2 × 20 = 40 m

हाँ, ऐसी आम की बगिया संभव है | 

Q4. क्या निम्न स्थिति संभव है ? यदि है तो उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए | दो मित्रों की आयु का योग 20 वर्ष है| चार वर्ष पूर्व उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल 48 था |

हल : माना एक मित्र की वर्त्तमान आयु = x वर्ष

तो दुसरे मित्र की वर्त्तमान आयु = 20 - x वर्ष

4 वर्ष पूर्व उनकी आयु का गुणनफल =

=>    (x - 4) (20 - x - 4) = 48

=>    (x - 4) (16 - x) = 48

=>    16x - x² - 64 + 4x = 48

=>    20x - x² - 64 - 48 = 0

=>    20x - x² - 112 = 0

=>    x² - 20x + 112 = 0

इस समीकरण के मूल का अस्तित्व है या नहीं यह जाँच करेंगे |

a = 1, b = - 20 और c = 112 

D = b² - 4ac

  = (-20)² - 4(1)(112) 

  = 400 - 448

  = - 48

चूँकि D < 0 है इसलिए इस समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है अत: यह संभव नहीं है |  

Q5. क्या परिमाप 80 m तथा क्षेत्रफल 400m² के एक पार्क को बनाना संभव है ? यदि है, तो  उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए |

हल : माना पार्क का लंबाई = x m

और चौड़ाई = y m

तो, 2(लंबाई + चौड़ाई) = परिमाप

    2(x + y) = 80 m

x + y = 40 m

    y = 40 - x m

अत: चौड़ाई = 40 - x m

अब, लंबाई × चौड़ाई = क्षेत्रफल

    x(40 - x) = 400

=> 40x - x² = 400

=>  x² - 40x + 400 = 0

=>  x² - 20x - 20x + 400 = 0

=>  x(x - 20) - 20(x - 20) = 0

=>  (x - 20) (x -20) = 0

=>  x - 20 = 0, x - 20 = 0

=>  x = 20 और x = 20

अत: पार्क की लंबाई = 20 मीटर तो चौड़ाई = 40 - 20 = 20 मीटर