मुख्य-बिंदु और सूत्र : 

समांतर श्रेढ़ी के सूत्र (formula for Arithematic progressions): 

(i) समांतर श्रेढ़ी के पदों का समान्य सूत्र (formula):

    a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d ................................ 

(ii) सार्वअंतर (d) = दूसरा पद - पहला पद

              = a₂ - a₁

(iii) समांतर माध्य का सूत्र (formula): 

    

(iv) n वाँ पद का सूत्र (Fformula for nth term): 

   a_n = a + (n - 1)d 

(v) योगफल का सूत्र (Formula for Sum) : 

       

   जब अंतिम पद (l) और प्रथम पद (a) दिया हो तो : 

   

(vi) योगफल (S_n) से अंतिम पद (a_n) ज्ञात करने का सूत्र : 

         

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Assignment

 

a_n = a + (n - 1)d पर आधारित प्रश्न : 

Q1.  समांतर श्रेढ़ी 9, 11, 13, 15, ......................... का 21 वाँ पद ज्ञात कीजिए | 

                                                                                            उत्तर : 49 

Q2.  A.P 3, 8, 13, 18, .......................... का कौन सा पद 78 है | 

                                                                                            उत्तर : 16 वाँ पद 

Q3.  12, x, 22 A.P में है तो x का मान होगा ? 

                                                                                            उत्तर : 17 

Q4.  A.P 3, 9, 15 .................. का 12 वाँ पद ज्ञात कीजिए | 

                                                                                            उत्तर : 69 

Q5.  समांतर श्रेढ़ी - 5, -2, 1, .......................... के n वाँ पद के लिए व्यंजक ज्ञात कीजिए | 

                                                                                            उत्तर : 3n - 8 

Q6.  यदि तीन संख्याएँ 5, 2k - 3, 9 A.P में  हैं तो k का मान ज्ञात कीजिए | 

                                                                                            उत्तर : 5 

Q7.  स. श्रे. 7, 11, 15, .................... 147 का अंत से 9 वाँ पद ज्ञात कीजिए | 

                                                                                            उत्तर : 115 

Q8.  स. श्रे. 41, 38, 35, ...................... का कौन सा पद ऋणात्मक है ? 

                                                                                            उत्तर : 15 वाँ 

Q9. स. श्रे. 41, 38, 35, ...................... का प्रथम ऋणात्मक पद ज्ञात कीजिए | 

                                                                                            उत्तर : -1 

Q10. A. P. √2, √8, √18, √32, -------------- का 8 वाँ पद एवं सार्व अंतर ज्ञात कीजिए | 

                                                                                            उत्तर : √128, √2 

Q11. यदि किसी A. P का तीसरा और नौवां पद 4 और - 8 है, तो इसका कौन सा पद शून्य है ? 

                                                                                            उत्तर : 5 वाँ पद 

Q12. उस A.P का 31 वाँ पद ज्ञात कीजिए जिसका 11 वाँ पद 38 है और 16 वाँ पद 73 है | 

                                                                                            उत्तर : ​

Q13. किसी A.P का 17 वाँ पद उसके 10 वें पद से 7 अधिक है | तो इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए | 

                                                                                            उत्तर : 1 

Q14. (i) दो समांतर श्रेढियों 63, 65, 67, ..................... और 3, 10, 17, .................. के

             n वाँ पद बराबर है तो n वाँ पद ज्ञात कीजिए | 

                                                                                            उत्तर :

Q15. तीन अंको वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं ? 

                                                                                            उत्तर :

Q16. 1 से 102 के बीच 5 के गुनाजों की संख्या कितनी हैं ? 

                                                                                            उत्तर :

Q17. 10 और 250 के बीच में 4 के गुणजों की संख्या कितनी हैं ? 

                                                                                            उत्तर :

Q18. एक स. श्रे. ज्ञात कीजिए, जिसका तीसरा पद -13 और छठा पद 2 है | 

                                                                                   उत्तर : –23, –18, –13, .......

Q19. तीन अंकों की कितनी संख्याएँ 6 से विभाज्य हैं ? 

                                                                                           उत्तर :

Q20. तीन अंकों की कितनी संख्यायें 3 से विभाज्य हैं ? 

                                                                                           उत्तर :

Q21. दो अंकों वाली कितनी संख्याएँ 6 से विभाज्य हैं ? 

                                                                                           उत्तर : 15 

Q22.  यदि एक A.P 4, 7, 10, .....................  का n वाँ पद 82 है, तो n का मान ज्ञात 

          कीजिए | 

                                                                                           उत्तर : 27 

Q23. यदि एक A.P का n वाँ पद 2n + 7 है, तो A.P का 7 वाँ पद ज्ञात कीजिए | 

                                                                                           उत्तर : 21 

Q24. यदि एक A.P का n वाँ पद 2n - 8 है, तो A.P का कौन-सा पद शून्य है ? 

                                                                                          उत्तर : 4 

Q25. एक A.P का 25 वाँ पद ज्ञात कीजिए यदि a_n = 3n - 2 है | 

                                                                                          उत्तर : 73

Q26. A. P 9, 17, 25, ................... का अंतिम पद 601 है तो अंतिम पद से 35 वाँ पद 

         ज्ञात कीजिए | 

                                                                                          उत्तर : 329

Q27.  A. P 105, 98, 91, ........................ का कौन सा पद शून्य होगा | 

                                                                                          उत्तर : 14 

Q28.  एक A.P का 41 वाँ पद ज्ञात कीजिए यदि a_n = 3 - 4n है | 

                                                                                          उत्तर : -161

Q29. 19 से 101 के बीच में आने वाले 4 के सभी गुणजों की संख्या ज्ञात कीजिए | 

                                                                                          उत्तर : 21

Q30. यदि एक A.P का n वाँ पद 9 - 5n है, तो A.P का 21 वाँ पद ज्ञात कीजिए | 

                                                                                          उत्तर : - 96

Q31. यदि t_n = 2n+1 है तो A.P ज्ञात कीजिए | 

                                                                                       उत्तर :3, 5, 7, ....... 2n+1 

Q32. समांतर श्रेढ़ी 114, 109, 104………… का कौन-सा पद पहला ऋणात्मक होगा ? 

 

Q33.  A.P 18, 16, 14............. के कितने पद लिए जाएँ ताकि उनका योग शून्य हो | 

 

Q34. A.P 21, 10,  -1, - 12 …… का कौन-सा पद इसके 31 वाँ पद से 231 अधिक होगा ?  

 

Q35.  समांतर श्रेढ़ी ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद 5 तथा 7 वाँ पद 9 है | 

Q36. दो अंकों की कितनी संख्या 3 से विभाज्य है ? 

Q37. AP : 10, 7, 4, . . ., – 62 के अंतिम पद से (प्रथम पद की ओर) 11  वाँ पद ज्ञात कीजिए | 

Q38. फूलों की एक क्यारी की पहली पंक्ति में 23 गुलाब के पौधे हैं, दूसरी पंक्ति में 21 गुलाब के पौधे हैं, तीसरी पंक्ति में 19 गुलाब के पौधे हैं, इत्यादि | यदि उसकी अंतिम पंक्ति में 5 गुलाब के पौधे हैं | इस क्यारी में कुल कितनी पंक्तियाँ हैं ? 

Q39. सुब्बा राव ने 1995 ने 5000 रु के मासिक वेतन पर कार्य आरंभ किया और प्रत्येक वर्ष 200 रु की वेतन वृद्धि प्राप्त की | किस वर्ष में उसका वेतन 7000 रु हो गया ? 

Q40. किसी A.P के चौथे औए 8 वें पदों का योग 24 है तथा छठे और 10 वें पदों का योग 44 है | इस A.P के प्रथम तीन पद ज्ञात कीजिए | 

Q41. AP : 121, 117, 113, . . . का कौन-सा पद सबसे पहला ऋणात्मक पद होगा ? 

 

Q42.  

(A)  x का मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए (8x + 3), (6x – 2)  और (2x + 7) समांतर 

         श्रेढ़ी में है | 

    उत्तर :7  

 

उत्तर:        

 (C)  k के किस मान के लिए  2k-7,k+5 व 3k+2  समांतर श्रेणी के क्रमागत पद होंगे ?          

                                                                                                         

योगफल (S_n) पर आधारित प्रश्न: 

 

Q43.  A.P. 1 + 3 + 5 + 7 + ..... + 199 का योगफल ज्ञात कीजिए | 

                                                                                          उत्तर : 2500

Q44.  A.P 2 + 4 + 6 + ...... के n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए | 

                                                                                          उत्तर : n² + n 

Q45. 2 + 6 + 10 + 14 + ....... + 34 का योगफल ज्ञात कीजिए | 

                                                                                          उत्तर : 162    

Q46.  A.P. 1 + 3 + 5 + ....... + 29 के सभी पदों का योग ज्ञात कीजिए | 

                                                                                          उत्तर : 225 

Q47. 34 + 32 + 30 + ………… + 10 का योगफल ज्ञात कीजिए | 

                                                                                          उत्तर : 286

Q48. 7 + 13 + 19 + ................ के लिए n पदों का योगफल का व्यंजक दीजिए | 

​                                                                                          उत्तर : 3n² + 4n 

Q49. 8 के प्रथम 15 गुणजों का योगफल ज्ञात कीजिए | 

                                                                                          उत्तर : 960

Q50. 7 के प्रथम 25 गुणजों का योगफल ज्ञात कीजिए | 

                                                                                          उत्तर : 2275

Q51. 13 के प्रथम 10 गुणजों का योगफल ज्ञात कीजिए | 

                                                                                          उत्तर : 715

Q52. 6 के प्रथम 27 गुणजों का योगफल ज्ञात कीजिए | 

                                                                                          उत्तर :2268 

Q53. 0 और 50 के बीच की सभी विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए | 

                                                                                                उत्तर : 625 

Q54.  तीन अंकों की सभी 7 के गुणजों का योगफल ज्ञात कीजिए | 

                                                                                          उत्तर : 70,336

Q55. यदि एक A.P के n पदों का योगफल n² है, तो इसका nवाँ पद के लिए व्यंजक 

          ज्ञात कीजिए |

                                                                                          उत्तर : 2n - 1 

Q56. निधि, पहले दिन 2 रु. दुसरे दिन 4 रु. तथा तीसरे दिन 6 रु. इत्यादि बचाती है | 

         फरवरी 2015, में वह कितने रुपये बचाएगी | 

                                                                                          उत्तर : 812

Q57. यदि किसी A.P का प्रथम 7 पदों का योग 49 है और प्रथम 17 पदों का योग 289 है 

         तो इसके प्रथम n पदों का योग ज्ञात कीजिए | 

                                                                                          उत्तर : n²

Q58.  यदि किसी A.P का प्रथम पदों का योग 4n - n² है | तो इसके 25 पदों का योगफल 

          ज्ञात कीजिए | 

Q59.  यदि एक समांतर श्रेढ़ी के प्रथम n पदों का योगफल S_n = 3n² - 4n है, तो इसका

          n वाँ पद एवं सार्व अंतर ज्ञात कीजिए | 

Q60.

          यदि किसी A.P में S_n = 5n² + 2n है तो इस A.P का n वाँ पद ज्ञात कीजिए |

                                                                                          उत्तर : a_n = 10n - 4 

Q61. स. श्रे. 57, 54, 51, .................... के कितने पदों का योगफल 570 है ? 

                                                                                          उत्तर :

Q62. AP : 9, 17, 25, . . . के कितने पद लिए जाए ताकि उनका योग 636 हो ? 

​                                                                                          उत्तर :

Q63. एक A.P का n वाँ पद 3 - 2n दिया है तो उस A.P के 40 पदों का योगफल ज्ञात

        कीजिए | 

Q64. समांतर श्रेढ़ी 22, 20, 18, ........... के कितने पदों का योगफल शून्य होगा ? 

Q66. समांतर श्रेढ़ी 4 + 9 + 14 + .................. + 249 का योगफल ज्ञात कीजिए | 

Q67. किसी त्रिभुज के कोण A.P में है | यदि सबसे छोटी कोण अन्य दो कोणों के योग 

          का पांचवा भाग (1/5) है तो कोण ज्ञात कीजिए | 

Q68. किसी A.P के प्रथम 6 पदों का योग 42 है | 10 वाँ पद एवं 30 वाँ पद का अनुपात 1:3 

         है | तो A.P ज्ञात कीजिए | 

 

Q69. किसी A.P. के प्रथम पद, तीसरा पद और सत्रहवाँ पदों का योगफल 216 हैं | तो प्रथम 13          पदों का योगफल ज्ञात कीजिए | 

उत्तर: 936;

Q70. तीन संख्याएँ A.P में है यदि उनका योग 24 है और उनका योग 440 है तो

         संख्याएँ ज्ञात कीजिए | 

Q71. A.P. : 3, 10, 17 ................. का कौन-सा पद इसके 13 वें पद से 84 अधिक होगा ? 

ऊतर: 25;

Q72. तीन संख्याएँ A.P में है यदि उनका योग 15 है और उनका योग 80 है तो

         संख्याएँ ज्ञात कीजिए | 

उत्तर: 2,5, 8 या 8, 5, 2  

Q73. एक A.P. के प्रथम n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए जिसका n^वाँ पद 5n - 1 है | तो इस A.P. के 20 पदों का योगफल ज्ञात कीजिए | 

Q74.  प्रथम प्राकृत संख्या का योग S निम्नलिखित संबंध द्वारा दर्शाया जाता है | 

           

          यदि योग 276 हो तो n ज्ञात कीजिए | 

       उत्तर: 24;

Q75. समांतर श्रेढ़ी - 40, - 32, - 24 .............. के कितने पद लिए जाए ताकि उनका

         योगफल शून्य हो ? 

Q77. समांतर श्रेढ़ी 43, 39, 35,……….. के कितने पद लिए जाएँ कि उनका योग 252 हो | 

Q78. एक A.P के चौथा पद उसके पहले पद का तिगुना है और सातवाँ पद इसी के तृतीय पद से 1 अधिक है | तो 10 वाँ पद ज्ञात कीजिए | 

Q79. यदि किसी A.P के तीसरे और नौवें पद क्रमश: 4 और -8 हैं, तो इसका कौन-सा पद शून्य होगा ? 

Q80. यदि किसी A. P के n पदों के योग 4n – n² है तो n वाँ पद ज्ञात कीजिए | 

Q81. किसी स्कूल के विद्यार्थियों को उनके समग्र शैक्षिक प्रदर्शन के लिए 7 नकद पुरस्कार देने के लिए 700 रु की राशि रखी गई है | यदि प्रत्येक पुरस्कार अपने से ठीक पहले पुरस्कार से 20 रु कम है, तो प्रत्येक पुरस्कार का मान ज्ञात कीजिए | 

Q82. एक स्कूल के विद्यार्थियों ने वायु प्रदुषण कम करने के लिए स्कूल के  अन्दर और बाहर पेड़ लगने के बारे में सोंचा | यह निर्णय लिया गया कि प्रत्येक कक्षा का प्रत्येक अनुभाग अपनी कक्षा की संख्या के बराबर पेड़ लगाएगा | उदाहरणार्थ, कक्षा I का एक अनुभाग 1 पेड़ लगाएगा, कक्षा दो के दो अनुभाग II पेड़ लगाएगा, कक्षा III का एक अनुभाग 3 पेड़ लगाएगा, इत्यादि और ऐसा कक्षा XII तक के लिए चलता रहेगा | प्रत्येक कक्षा के तीन अनुभाग हैं | इस स्कूल के विद्यार्थियों द्वारा लगाये गए  कुल पेड |