अभ्यास 1.1

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प्र०1. युक्लिड विभाजन अल्गोरिथम के प्रयोग से HCF ज्ञात कीजिये |  

 (i) 135 और 225 (ii) 196 और 38220 (iii) 867 और 255

हल:  

(1)    135 और 225

a = 225, b = 135 {सबसे बड़ी संख्या को a तथा सबसे छोटी संख्या को b मानते है }

युक्लिड विभाजन अल्गोरिथम के प्रयोग से

a = bq + r (तब)

225 = 135 ×1 + 90

135 = 90 ×1 + 45

90 = 45 × 2 + 0 {जब हमें r=0 प्राप्त हो जाता है तो हम आगे हल करना बंद कर देते है }

b = 45 {फिर उसमे से b का मान HCF होता है;}

HCF = 45

हल:

(ii)    196 और 38220

a = 38220, b = 196  {सबसे बड़ी संख्या को a तथा सबसे छोटी संख्या को b मानते है }

युक्लिड विभाजन अल्गोरिथम के प्रयोग से

a = bq + r (तब)

38220= 196 ×195 + 0  {जब हमें r=0 प्राप्त हो जाता है तो हम आगे हल करना बंद कर देते है }

b = 196      {फिर उसमे से b का मान HCF होता है;}

HCF = 196

हल:

(iii)   867 और 255

a = 867, b = 255 {सबसे बड़ी संख्या को a तथा सबसे छोटी संख्या को b मानते है }

युक्लिड विभाजन अल्गोरिथम के प्रयोग से

a = bq + r (तब)

38220= 196 ×195 + 0 {जब हमें r=0 प्राप्त हो जाता है तो हम आगे हल करना बंद कर देते है }

b = 196  {फिर उसमे से b का मान HCF होता है;}

HCF = 196

प्र०2. दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1, या 6q + 3, या 6q + 5, के रूप का होता है जहाँ q कोई पूर्णांक है |

हल:

दर्शाना है: a = 6q + 1, 6q+3 या  6q+5

माना कि a कोई धनात्मक विषम पूर्णांक है;  जहाँ b = 6 होगा,

जब हम 6 से a को विभाजित करते है जो शेषफल क्रमश: 0, 1, 2, 3, 4 और 5 पाते है;

जहाँ 0 ≤ r < b

यहाँ a एक विषम संख्या है इसलिए शेषफल भी विषम संख्या प्राप्त होता है |

शेषफल होगा 1 या 3 या 5 

युक्लिड विभाजन अल्गोरिथम के प्रयोग से हम पाते है;  

a = 6q + 1, 6q+3 या 6q+5

प्र०3. किसी परेड में 616 सदस्यों वाली एक सेना (आर्मी) की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाले एक आर्मी बैंड के पीछे मार्च करना है | दोनों समूहों को समान संख्या वाले स्तंभों में मार्च करना है | उन स्तंभों की अधिकतम संख्या क्या है, जिसमें वे मार्च कर सकते है ?

हल:

स्तंभों की अधिकतम संख्या = HCF (616, 32)

a = 616, b = 32  {सबसे बड़ी संख्या को a तथा सबसे छोटी संख्या को b मानते है }

युक्लिड विभाजन अल्गोरिथम के प्रयोग से

a = bq + r (तब)

616 = 32 ×19 + 8  {जब हमें r=0 प्राप्त हो जाता है तो हम आगे हल करना बंद कर देते है }

32 = 8 × 4 + 0

b = 8 {b का मान HCF होता है}

HCF = 8

इसलिए स्तंभों की अधिकतम संख्या = 8

प्र०4. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m + 1 के रूप का होता है |

हल :

दर्शाना है : a² = 3m or 3m + 1

a = bq + r

माना कि a कोई धनात्मक पूर्णांक है जहाँ b = 3 और r = 0, 1, 2 क्योंकि 0 ≤ r < 3

तब a = 3q + r  कुछ पूर्णांक के लिए q ≥ 0

इसलिए, a = 3q + 0 or 3q + 1 or 3q + 2

अब हम पाते है;

⇒ a² = (3q + 0)² or (3q + 1)² or (3q +2)²

⇒ a² = 9q² or 9q² + 6q + 1 or 9q² + 12q + 4

⇒ a² = 9q² or 9q² + 6q + 1 or 9q² + 12q + 3 + 1

⇒ a² = 3(3q²) or 3(3q² + 2q) + 1 or 3(3q² + 4q + 1) + 1

यदि m = (3q²) or (3q² + 2q)  or (3q² + 4q + 1) हो तो

हम पाते है कि ;

a² = 3m or 3m + 1 or 3m + 1

प्र०5. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप का होता है |

हल:

माना, a कोई धनात्मक पूर्णांक है;

युकिल्ड विभाजन प्रमेयिका के प्रयोग से;

a = bq + r जहाँ; 0 ≤ r < b

b = 9 रखने पर

a = 9q + r जहाँ; 0 ≤ r < 9

जब r = 0 हो;

a = 9q + 0 = 9q

a³  = (9q)³ = 9(81q³) या 9m जहाँ m = 81q³

जब r = 1 हो

a = 9q + 1 

a³ = (9q + 1)³ = 9(81q³ + 27q² + 3q) + 1

      = 9m + 1  जहाँ m = 81q³ + 27q² + 3q

जब r = 2 हो तो

a = 9q + 2 

a³  = (9q + 2)³ = 9(81q³ + 54q² + 12q) + 8

      = 9m + 2  जहाँ m = 81q³ + 54q² + 12q

अत: किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप का होता है |  

प्रश्नावली 1.2

Q1. निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखंड के रूप में व्यक्त कीजिये :
(i) 140             

हल:

140 का अभाज्य गुणनखंड 

         = 2² × 5 × 7 

(ii) 156

हल:

156 का अभाज्य गुणनखंड 

        = 2² × 3 × 13

(iii) 3825

हल:

3825 का अभाज्य गुणनखंड 

          = 3² × 5² × 17 

(iv) 5005

हल:

5005 का अभाज्य गुणनखंड

          = 5 × 7 × 11 × 13 

(v) 7429

हल:

7429 का अभाज्य गुणनखंड = 17 x 19 x 23 

Q2. पूर्णांकों के निम्नलिखित युग्मों के LCM and HCF ज्ञात कीजिए तथा इसकी जाँच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल = LCM × HCF है| 

(i) 26 and 91

हल:

26 = 2 × 13

91 = 7 × 13 

सार्व गुणनखंड = 13 

∴ HCF = 13 

LCM = 2 × 7 × 13 = 182 

अब, जाँच,

दो संख्याओं का गुणनफल = LCM × HCF 

N₁ × N₂ = LCM × HCF 

26 × 91 = 13 × 182 

    2366 =  2366

इति सिद्धम | 

(ii) 510 and 92

हल:

510 = 2 × 3 × 5 × 17

92 = 2 × 2 × 23

सार्व गुणनखंड = 2

∴ HCF = 2 

LCM = 2 × 2 × 3 × 5 × 17 × 23 =  23460

अब, जाँच,

दो संख्याओं का गुणनखंड = LCM × HCF 

N₁ × N₂ = LCM × HCF 

510 × 92 = 2 × 23460 

    46920 =  46920

इति सिद्धम |

(iii) 336 and 54

हल:

336 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 7

54 = 2 × 3 × 3 × 3

सार्व गुणनखंड = 2 × 3

∴ HCF = 6 

LCM = 2 × 2 × 2× 2 × 3 × 3 × 3 × 7 =  3024

जाँच,

दो संख्याओं का गुणनफल = LCM × HCF 

N₁ × N₂ = LCM × HCF 

336 × 54 = 6 × 3024 

    18144 =  18144

इति सिद्धम |

Q3. अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांकों के LCM और HCF ज्ञात कीजिए |

(i) 12, 15 and 21

हल:

12 = 2 × 2 × 3

15 = 5 × 3 

21 = 7 × 3

सार्व गुणनखंड = 3 

HCF = 3 

​LCM = 3 × 2 × 2 × 5 × 7 = 420 

(ii) 17, 23 and 29

हल:

17 = 1 × 17 

23 = 1 × 23 

29 = 1 × 29 

HCF = 1 

LCM = 17 × 23 × 29 = 11339

(iii) 8, 9 and 25

हल:

8 = 2 × 2 × 2 

9 = 3 × 3 

25 = 5 × 5 

यहाँ 1 को छोड़कर अन्य कोई सार्व गुणनखंड नहीं है | 

∴ HCF = 1 

LCM = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5 

        = 8 × 9 × 25 

        = 1800

Q4. HCF (306, 657) = 9, दिया है | LCM (306, 657) ज्ञात कीजिए | 

हल:

HCF (306, 657) = 9

 LCM × HCF = ​N₁ × N₂ 

LCM = 22338

Q5. जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए संख्या 6ⁿ अंक 0 पर समाप्त हो सकती है | 

हल:

6ⁿ का अभाज्य गुणनखंड = (2 × 3 )ⁿ

जबकि, कोई प्राकृत संख्या जो शून्य पर समाप्त होती है उसके अभाज्य गुणनखंड (2 × 5 )ⁿ के रूप का होता है | 

अत:, 6ⁿ शून्य पर समाप्त नहीं होगी | 

Q6. व्याख्या कीजिए 7 × 11 × 13 + 13 और 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 भाज्य संख्या क्यों है ?

हल :

माना A = 7 × 11 × 13 + 13

        = 13 (7 × 11 + 1)

        = 13 (77 + 1)

        = 13 × 78 

अत: यह एक भाज्य संख्या है क्योंकि इसके अभाज्य गुणनखंड में 1 को छोड़कर अन्य दो गुणनखंड हैं |

इसीप्रकार,  

माना B = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5

        = 5 (7 × 6 × 4 × 3 × 2 × 1 + 1)​  

        = 5 × (1008 + 1)  

        = 5  ×  1009    

अत: यह भी एक भाज्य संख्या है क्योंकि इसके भी अभाज्य गुणनखंड में 1 को छोड़कर अन्य दो गुणनखंड हैं |  

Q7. किसी खेल के मैदान के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ है। इस मैदान का एक चक्कर लगाने में सोनिया को 18 मिनट लगते हैं, जबकि इसी मैदान का एक चक्कर लगाने में रवि को 12 मिनट लगते हैं। मान लीजिए वे दोनों एक ही स्थान और एक ही समय पर चलना प्रारंभ करके एक ही दिशा में चलते हैं। कितने समय बाद वे पुनः प्रांरभिक स्थान पर मिलेंगे?

हल: 

एक चक्कर में सोनिया 18 मिनट लेती हैं |

रवि एक चक्कर में 12 लगाता है |  

वे दोनों एक ही स्थान पर LCM(18, 12) मिनट के बाद मिलेंगे | 

अत: 

18 = 2 × 3 × 3 

12 = 2 × 2 × 3 

HCF = 2 × 3 = 6 

           = 36 मिनट | 

प्रश्नावली 1.3 

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Q1. सिद्ध कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या है |

हल :

इसके विपरीत मान लीजिए कि √5 एक परिमेय संख्या है | 

हम किसी भी परिमेय संख्या को p/q के रूप में व्यक्त कर सकते है जहाँ p तथा q दो पूर्णांक है और q  ≠ 0 है | ​

इसलिए, 

यहाँ 5 a² को विभाजित करता है अत: 5 a को भी विभाजित करेगा | ....(1)

[ प्रमेय 1.3 द्वारा ]

अत: a = 5c माना      [ क्योंकि a 5 द्वारा विभाजित होता है अर्थात a का 5 कोई गुनाखंड है |]

 5b² = a² में a = 5c रखने पर

⇒          5b² = (5c)²

⇒          5b² = 25c²

⇒            b² = 5c²

^​

यहाँ 5 b² को विभाजित करता है अत: 5 b को भी विभाजित करेगा | ....(2)

[ प्रमेय 1.3 द्वारा ]

समीकरण (1) तथा (2) से हम पाते है कि 5 a तथा b दोनों को विभाजित करता है जिसमें 5 एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है |

इससे हमारी इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि a तथा b में 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है |

यह विरोधाभासी परिणाम हमारी गलत कल्पना से प्राप्त हुआ है कि

अत: √5 एक अपरिमेय संख्या है |

Q2.  सिद्ध कीजिए  कि 3 + 2√5 एक अपरिमेय संख्या है |

हल :

इसके विपरीत मान लीजिए कि 3 + 2√5 एक परिमेय संख्या है | 

हम किसी भी परिमेय संख्या को p/q के रूप में व्यक्त कर सकते है जहाँ p तथा q दो पूर्णांक है और q  ≠ 0 है | ​

इसलिए,

और p तथा q को उभयनिष्ठ गुणनखंड से विभाजित कर एक सह-अभाज्य संख्या a तथा b प्राप्त कर सकते हैं | 

चूँकि a तथा b पूर्णांक है और 2 तथा 3 भी पूर्णांक है | 

इससे एक विरोधाभासी परिणाम प्राप्त होता है कि √5 परिमेय संख्या है |

ऐसा विरोधाभासी परिणाम हमारी गलत कल्पना से प्राप्त हुआ है कि 3 + 2√5 एक परिमेय संख्या है |

अत: 3 + 2√5 एक अपरिमेय संख्या है | 

यहाँ 2 b² को विभाजित करता है अत: 2, b को भी विभाजित करेगा | ....(1)

[ प्रमेय 1.3 द्वारा ]

अत: b = 2c माना      [ क्योंकि a 5 द्वारा विभाजित होता है | ] 

यहाँ 2 a² को विभाजित करता है अत: 2 a को भी विभाजित करेगा | ....(2)

[ प्रमेय 1.3 द्वारा ]

समीकरण (1) तथा (2) से हम पाते है कि 2 a तथा b दोनों को विभाजित करता है जिसमें 2 एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है |

इससे हमारी इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि a तथा b में 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है, क्योंकि हमने a तथा b को सह-अभाज्य प्राप्त किया था |  

यह विरोधाभासी परिणाम हमारी गलत कल्पना से प्राप्त हुआ है कि 

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प्रश्नावली 1.4 

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Q1. बिना लंबी विभाजन प्रक्रिया किए बताइए कि निम्नलिखित परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार सांत हैं या असांत आवर्ती हैं :

हल :

हर का अभाज्य गुणनखंड 5⁵ है और इसे 2^m × 5ⁿ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है अत: यह एक सांत दशमलव प्रसार है |  

हर का अभाज्य गुणनखंड 2³ है और इसे 2^m × 5ⁿ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है अत: यह एक सांत दशमलव प्रसार है |  

हर का अभाज्य गुणनखंड 5 × 7 × 13 है और इसे 2^m × 5ⁿ के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है अत: यह एक असांत दशमलव प्रसार है |  

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हर का अभाज्य गुणनखंड 2⁶ × 5² है और यह 2^m × 5ⁿ के रूप में व्यक्त है अत: यह एक सांत दशमलव प्रसार है |  

Q2. ऊपर दिए गए प्रश्न में उन परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसारों को लिखिए जो सांत हैं | 

हल : प्रश्न संख्या 1 में सांत दशमलव प्रसार वाले प्रश्न निम्नलिखित हैं | 

(i), (ii), (iii), (iv), (vi), (viii) और (ix) 

​