प्रश्नावली 14.1

Q1. विधार्थियों के एक समूह द्वारा अपने पर्यावरण संचेतना अभियान के अन्तर्गत एक सर्वेक्षण किया गया, जिसमें उन्होंने एक मोहल्ले के 20 घरों में लगे हुए पौधों से संबंधित निम्नलिखित आँकड़े एकत्रित किए | प्रति घर पौधों की संख्या ज्ञात कीजिए |

 

माध्य ज्ञात करने के लिए आपने किस विधि का प्रयोग किया और क्यों ? 

Q2. किसी फैक्ट्री के 50 श्रमिकों मज़दूरी के निम्नलिखित बंटन पर विचार कीजिए :

 

एक उपयुक्त विधि का प्रयोग करते हुए, इस फैक्ट्री के श्रमिकों की माध्य दैनिक मज़दूरी ज्ञात कीजिए |

हल : प्रत्येक अंतराल के लिए वर्ग-चिन्ह को इस सूत्र से ज्ञात करेंगे 

कल्पित माध्य विधि (Assume mean Method) से

Σfidi = - 480 + - 280 + 0 + 120 + 400 = - 760 + 520 = - 240

Σfi = 50 और a = 150 

Q3. निम्नलिखित बंटन एक मोहल्ले के  बच्चों के दैनिक जेबखर्च दर्शाता है | माध्य जेबखर्च 18 रू है | लुप्त बारंबारता f ज्ञात कीजिए :

 

हल : 

कल्पित माध्य विधि (Assume mean Method) से

Σfidi = 2f - 40,  Σfi = 44 + f और a = 18, 

Q4. किसी अस्पताल में, एक डॉक्टर द्वारा 30 महिलाओं की जाँच की गई और उनके ह्रदय स्पंदन (beat) की प्रति मिनट संख्या नोट करके नीचे दर्शाए अनुसार संक्षिप्त रूप में लिखी गई | एक उपयुक्त विधि चुनते हुए, इन महिलाओं के ह्रदय स्पंदन की प्रति मिनट माध्य संख्या ज्ञात कीजिए :

हल : 

कल्पित माध्य विधि (Assume mean Method) से

Σf_id_i = 12,  Σf_i = 30 और a = 75.5, 

अत: महिलाओं के ह्रदय स्पंदन की प्रति मिनट माध्य संख्या = 75.9 है | 

Q5. किसी फुटकर बाज़ार में, फल विक्रेता पेटियों में रखे आम बेच रहें थे | इन पेटियों में आमों की संख्याएँ भिन्न - भिन्न थी | पेटियों की संख्या के अनुसार, आमों का बंटन निम्नलिखित था :      

एक पेटी में रखे आमों की माध्य संख्या ज्ञात कीजिए | आपने माध्य ज्ञात करने की किस विधि का प्रयोग किया है ?

हल: 

दी गयी श्रृखला समावेशी (inclusive) है जहाँ वर्ग-अंतरालों में 1 का अंतर है | अत: दी गयी श्रृंखला को अपवर्जी (exclusive) श्रृंखला में बदलेंगे |

53 - 52 = 1 

          = 57 + 0.1875

          = 57.1875 या 57.19

आमों की माध्य संख्या = 57.19

Q6. निम्नलिखित सारणी किसी मोहल्ले के 25 परिवारों में भोजन पर हुए दैनिक व्यय को दर्शाती है:

एक उपयुक्त विधि द्वारा भोजन पर हुआ माध्य व्यय ज्ञात कीजिए |

हल : 

पग-विचलन विधि (Step-deviation Method) से माध्य :

Σfiui = - 7, Σfi = 25, h = 50 , a = 225

पग-विचलन विधि के सूत्र में उपरोक्त मानों (values) को रखने पर 

Q7. वायु में सल्फर डाई - ऑक्साइड (SO ) की सान्द्रता (भाग प्रति मिलियन में ) को ज्ञात करने के लिए, एक नगर के मोहल्लों से आँकड़े एकत्रित किए गये, जिन्हें नीचे प्रस्तुत किया गया है :

  

वायु में SO₂  की सांद्रता का माध्य ज्ञात कीजिए |

हल : 

​

पग-विचलन विधि (Step-deviation Method) से माध्य :

Σf_iu_i = - 31, Σf_i = 30, h = 0.04 , a = 0.14

पग-विचलन विधि के सूत्र में उपरोक्त मानों (values) को रखने पर 

वायु में सल्फर डाई-ऑक्साइड (SO ) की सान्द्रता का माध्य = 0.099

Q8. किसी कक्षा अध्यापिका ने पुरे सत्र के लिए अपनी कक्षा के 40 विधार्थियों कि अनुपस्थिति निम्नलिखित रूप में रिकॉर्ड (record) की | एक विधार्थी जितने दिन अनुपस्थित रहा उनका माध्य ज्ञात कीजिए :

   

हल : 

विद्यार्थी की अनुपस्थित का माध्य = 12.48 दिन 

Q9. निम्नलिखित सारणी 35 नगरों कि साक्षरता दर (प्रतिशत में ) दर्शाती है | माध्य साक्षरता दर ज्ञात कीजिए :

 

  हल : 

पग-विचलन विधि (Step-deviation Method) से माध्य :

Σf_iu_i = - 2, Σf_i = 35, h = 10 , a = 70

पग-विचलन विधि के सूत्र में उपरोक्त मानों (values) को रखने पर 

अत: माध्य साक्षरता दर = 69.43 %  

प्रश्नावली 14.2 

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Q1. निम्नलिखित सारणी किसी अस्पताल में एक विशेष वर्ष में भर्ती हुए रोगियों की आयु को दर्शाती है :

उपरोक्त आँकड़ों के बहुलक और माध्य ज्ञात कीजिए | दोनों केन्द्रीय प्रवृत्ति कि मापों की तुलना कीजिए और उनकी व्याख्या कीजिए |

हल : 

कल्पित माध्य विधि (Assume Mean Method) और बहुलक के लिए सारणी: 

बहुलक (Mode) के लिए सारणी से :

बहुलक वर्ग = 35 - 45

∴ l = 35,

बहुलक वर्ग की बारंबारता (f₁) = 23,

(f₀) = 21, (f₂) = 14,

वर्ग-आकार (h) = 10 

Q2. निम्नलिखित आँकड़े, 225 बिजली उपकरणों के प्रेक्षित जीवन काल (घंटों में ) कि सूचना देते हैं :

 

उपकरणों का बहुलक जीवनकाल ज्ञात कीजिए |

हल : 

वर्ग 60 - 80 की सबसे अधिक बारंबारता 61 है, अत: बहुलक वर्ग 60 - 80 है |

इसलिए, l = 60, f₁ = 61, f₀ = 52, f₂ = 38 और h = 20 

अत: उपकरणों का बहुलक जीवनकाल 65.63 है | 

Q3. निम्नलिखित आँकड़े किसी गाँव के 200 परिवारों के कुल मासिक घरेलू व्यय के बंटन को दर्शाते है | इन परिवारों का बहुलक मासिक व्यय ज्ञात कीजिए | साथ ही, माध्य मासिक व्यय भी ज्ञात कीजिए |

 

हल : 

बहुलक (mode) के लिए:

वर्ग 1500 - 2000 की बारंबारता सबसे अधिक 40 बार है अत: l = 1500

f₁ = 40

f₀ = 24

f₂ = 33

h = 500 

अत: परिवारों का बहुलक मासिक व्यय = ` 1847.83

माध्य (mean) के लिए पग-विचलन विधि से  :

Q4. निम्नलिखित बंटन भारत के उच्चतर माध्यमिक स्कूलों में, राज्यों के अनुसार, शिक्षक - विधार्थी अनुपात को दर्शाता है | इन आँकड़ों के बहुलक और माध्य ज्ञात कीजिए | दोनों मापकों की व्याख्या कीजिए |

  

हल : 

उपरोक्त सारणी के अनुसार

l = 30, f₀ = 9, f₁ = 10, f₂ = 3, h = 5, 

बहुलक (Mode) = 30.6

माध्य (Mean) के लिए :

a = 32.5, Sf_iu_i = - 23, Sf_i = 35, h = 5 

अत: आंकड़ों का माध्य = 29.22 और बहुलक (Mode) = 30.6

Q5. दिया हुआ बंटन विश्व के कुछ श्रेष्टतम बल्लेबाज़ों द्वारा एकदिवसीय अंतराष्ट्रीय क्रिकेट मैचों में बनाए गए रनों को दर्शाता है :

   

इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए |

हल : 

वर्ग 4000 - 5000 की आवृति सबसे अधिक बार हुई है इसलिए, 

बहुलक वर्ग 4000 - 5000 है और

l = 4000, f₁ = 18, f₀ = 4, f₂ = 9 और h = 1000 

अत: दिए गए आँकडों का बहुलक (mode) = 4608.695 रन 

Q6. एक विधार्थी ने एक सड़क के किसी स्थान से होकर जाती हुई करों कि संख्याएँ नोट कि और उन्हें नीचे दी हुई सारणी के रूप में व्यक्त किया | सारणी में दिया प्रत्येक प्रेक्षण 3 मिनट के अंतराल में उस स्थान से होकर जाने वाली करों कि संख्याओं से संबंधित है | ऐसे 100 अंतरालों पर प्रेक्षण लिए गए | इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए |

हल : 

वर्ग 40 - 50 की आवृति सबसे अधिक 20 बार हुई है इसलिए,

बहुलक वर्ग 40 - 50 है और

l = 40, f₁ = 20, f₀ = 12, f₂ = 11 और h = 10 

अत: दिए गए आँकडों का बहुलक (mode) = 44.7 कारें | 

प्रश्नावली 14.3 

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Q1. निम्नलिखित बारंबारता बंटन किसी मोहल्ले के 68 उपभोक्ताओं की बिजली कि मासिक खपत दर्शाता है | इन आँकड़ों के माध्यक, माध्य और बहुलक ज्ञात कीजिए | इनकी तुलना कीजिए |

हल : 

माध्यक (Median) के लिए : 

34 संचयी बारंबारता के 42 में शामिल है |

इसलिए, माध्यक वर्ग 125 - 145 है |

अत: l = 125, f = 20, cf = 22 (माध्यक वर्ग से ठीक ऊपर वाला संचयी बारंबारता) और

h = 20, 

बहुलक के लिए :

सारणी से हमें ज्ञात होता है कि वर्ग 125 - 145 की बारंबारता सबसे अधिक है इसलिए बहुलक वर्ग 125 - 145 है

अत: l = 125, f₀ = 13, f₁ = 20, f₂ = 14 और h = 20

माध्यक = 137, माध्य = 137.058 और बहुलक = 135.76 

Q2. यदि नीचे दिए हुए बंटन का माध्यक 28.5 हो तो x और y के मान ज्ञात कीजिए :

 

 

हल : 

दिया है, माध्यक = 28.5,

अत: 28.5 वर्ग-अन्तराल 20 - 30 में शामिल है |

इसलिए, l = 20, f = 20, h = 10 और cf = 5 + x

N = 60,

अब,  45 + x + y = 60

अथवा x + y = 60 - 45

      x + y = 15

      8 + y = 15   समी० (1) से

          y = 15 - 8

          y = 7

x = 8, और y = 7 

Q3. एक जीवन बीमा एजेंट 100 पॉलिसी धारकों कि आयु के बंटन के निम्नलिखित आँकड़े ज्ञात करता है | माध्यक आयु परिकलित कीजिए, यदि पॉलिसी केवल उन्हीं व्यक्तियों को दी जाती है,  जिनकी आयु 18 वर्ष या उससे अधिक हो, 60 वर्ष से कम हो |

हल : 

Q4. एक पौधे कि 40 पत्तियों कि लंबाइयाँ निकटतम मिलीमीटरों में मापी जाती है तथा प्राप्त आँकड़ों को निम्नलिखित सारणी के रूप में निरुपित किया जाता है :

पत्तियों की माध्यक लंबाई ज्ञात कीजिए |

संकेत : माध्यक ज्ञात करने के लिए, आँकड़ों को सतत वर्ग अंतरालों में बदलना पड़ेगा, क्योंकि सूत्र में वर्ग अंतरालों को सतत मन गया है | तब ये वर्ग 117.5 - 126.5 - 135.5,...,171.5 - 180.5 में बदल जाते हैं |  

हल :

 

Q5. निम्नलिखित सारणी 400 नियाँन लैंपों के जीवनकालों (life time) को प्रदर्शित करती है :

   

   एक लैंप का माध्यक जीवन काल ज्ञात कीजिए |

हल : 

Q6. एक स्थानीय टेलीफ़ोन निर्देशिका से 100 कुलनाम (surnames) लिए और उनमें प्रयुक्त अंग्रेज़ी वर्णमाला के अक्षरों की संख्या का निम्नलिखित बारंबारता बंटन प्राप्त हुआ :

 

  

हल : 

 

कुलनामों में माध्यक अक्षरों कि संख्या ज्ञात कीजिए |  कुलनामों में माध्य अक्षरों कि संख्या ज्ञात कीजिए | साथ ही, कुलनामों का बहुलक ज्ञात कीजिए |

Q7. नीचे दिया हुआ बंटन एक कक्षा के 30 विधार्थियों के भार दर्शा रहा है | विधार्थियों का माध्यक भार ज्ञात कीजिए |

हल : 

प्रश्नावली 14.4

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Q1. निम्नलिखित बंटन किसी फैक्ट्री के 50 श्रमिकों कि दैनिक आय दर्शाता है :

'उपरोक्त बंटन को एक कम प्रकार ' के संचयी बारंबारता बंटन में बदलिए और उसका तोरण खींचिए |

हल : 'से कम प्रकार' का संचयी बारंबारता बंटन सारणी :

'से कम प्रकार' के तोरण के लिए क्रमित युग्म (order pairs) :

(120, 12), (140, 26), (160, 34), (180, 40) और (200, 50)

Q2. किसी कक्षा के 35 विधार्थियों कि मेडिकल जाँच के समय, उनके भार निम्नलिखित रूप में रिकॉर्ड किए गए :

  

उपरोक्त आँकड़ों के 'लिए कम प्रकार का तोरण' खींचिए | इसके बाद माध्यक भार ज्ञात कीजिए |

हल : 'से कम प्रकार के' तोरण के लिए संचयी बारंबारता सारणी

'से कम प्रकार' के तोरण के लिए के लिए क्रमित युग्म (Order pairs) :

(38, 0), (40, 3), (42, 5), (44, 9), (46, 14), (48, 28), (50, 32), (52, 35)

Q3. निम्नलिखित सारणी किसी गाँव के 100 फार्मों में हुआ प्रति हेक्टेयर (ha) गेंहूँ का उत्पादन दर्शाते हैं :

 

इस बंटन को 'अधिक के प्रकार के ' बंटन में बदलिए और फिर उसका तोरण खींचिए |

हल : 'से अधिक प्रकार के' तोरण के लिए संचयी बारंबारता सारणी:

'से अधिक प्रकार' के तोरण के लिए के लिए क्रमित युग्म (Order pairs) :

(50, 100), (55, 98), (60, 90), (65, 78), (70, 54), (75, 16)

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अतिरिक्त एवं महत्वपूर्ण प्रश्न : 

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Q1. निम्न आँकडें आरोही क्रम में लिखे गए हैं। यदि आँकडों का माध्यक 14.5 है तो x का मान ज्ञात कीजिए।

11, 12, 13, 7x, 7x + 1, 16, 16, 18, 20

Q2. 5 संख्याओं का माध्य 18 है | यदि एक संख्या निकल दी जाए, तो माध्य 16 हो जाता है | तो निकाली गयी संख्या ज्ञात कीजिए | 

Q3. 20 संख्याओं का माध्य 17 है, यदि प्रत्येक संख्या में 3 जोड़ा जाए तो नया माध्य ज्ञात कीजिए |

Q4. 'से कम प्रकार' तथा 'से अधिक' के तोरण के प्रतिच्छेदन बिन्दु का भुज किस केन्द्रीय प्रवृत्ति की माप को दर्शाता है ?

Q5. यदि 2,3,5,4,2,6,3,5,5,2 और x का बहुलक 2 है, तो 'x' का मान ज्ञात कीजिए |

Q6. 2,3,6,0,1,4,8,2,5 की माध्यिका ज्ञात कीजिए |

Q7. x, x + 1, x + 2, x + 3, x + 4, x + 5 और x + 6 का माध्य ज्ञात कीजिए |

Q8. प्रथम 10 विषम संख्याओं का माध्य ज्ञात कीजिए | 

Q9. यदि आरोही क्रम में लिखे प्रेक्षणों 24, 25, 26, x + 3, 30, 31, 34 की माध्यिका 27.5 है, तो 'x' का मान ज्ञात कीजिए |

Q10. 40 प्रेक्षणों का माध्य 160 था | जाँच करने पर ज्ञात हुआ कि 165 गलती से 125 लिखा गया था, सही माध्य ज्ञात कीजिए |

Q11. एक मैचों की श्रृंखला में एक बास्केट बॉल टीम द्वारा हासिल किए गए मैचों में अंक इस प्रकार था :

  17, 2, 7, 27, 25, 5, 14, 18 , 10, 24, 10, 8, 7, 10
  तो आंकड़ों का माध्य, माध्यक और बहुलक ज्ञात कीजिए |

Q12. 40, 42, 80, 69, 56, 47 का परिसर क्या है ?

Q13. यदि 25, 30, 32, x, 43 का समान्तर माध्य 34 है तो x का मान ज्ञात कीजिए | 

Q14. निम्नलिखित आंकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए |

     5, 7, 6, 5, 9, 8, 6, 7, 11, 10, 5, 7, 6, 8, 6, 9, 10.

Q15. 34, 32, x, x-1, 19, 15, 11 का माध्यक ज्ञात कीजिए जहाँ x आँकड़ें 10, 20, 30, 40, 50 का माध्य है |

Q16. 

Q17. 

Q18. 

Q19. 

Q20. एक मोहल्ले के 20 घरों में लगे हुए पौधों से संबंधित निम्नलिखित आँकडें एकत्रित किए प्रति घर पौधों की माध्य संख्या ज्ञात कीजिए ।

Q21. किसी फैक्टरी के कुछ श्रमिकों की दैनिक मजदूरी के बंटन का माध्य 145.20 है तो f का मान ज्ञात कीजिए ।

Q22. निम्न सारणी कुछ परिवारों में भोजन पर हुए दैनिक व्यय का माध्य व्यय 211 रू है तो f का मान ज्ञात कीजिए ।

Q23. नीचे दिया हुआ बंटन एकदिवसीय क्रिकेट मैचों में, गेंदबाजों द्वारा लिए गए विकटों का माध्य ज्ञात कीजिए ।

Q24. निम्न ऑकडों का माध्य, माध्यक और बहुलक ज्ञात कीजिए ।

Q25. एक सर्वेक्षण के आँकडे दिए गए है जो दशवीं कक्षा के लडकियों का ऊँचाई है। निम्न आँकडों से माध्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए ।   

Q26. p का मान ज्ञात कीजिए यदि दिए गए बंटन का माध्य 20 हो |

Q27. निम्न आँकडों से माध्य, माध्यक और बहुलक ज्ञात कीजिए ।

Q28. निम्न आँकडों का माध्यक 525 है। यदि बारम्बारताओं का योग 100 है, तो x और y का मान ज्ञात कीजिए ।

Q29. उपयुक्त आँकडों से ‘से कम प्रकार’ का तोरण खींचिए। प्राप्त ग्राफ से माध्यक ज्ञात कीजिए |

Q30.