बहुपद की परिभाषा

बहुपद क्या है ?

चर, अचर गुणांक और घात वाले बीजगणितीय व्यंजक (algebric expression) बहुपद कहलाते हैं | जैसे -

x², 2x³, 3y, 2x + 5, ax² + bx, 2x² - 7x + 3 और 3x³ + 4x - 5x + 9 इत्यादि |   

समान्यत: बहुपद (Polynomials) को p(x) से सूचित करते है | जैसे - 

p(x) = 2x² + 3x + 5 अथवा p(x) = 3x आदि | 

ये बहुपद नहीं होते है : - 

(i) वह बीजीय व्यंजक जिसका घात ऋणात्मक संख्या हो - जैसे - 1, -2, -4 या - 5 इत्यादि | 

3x^-2 + 5x, y^-3 - y, 6x^-4 इत्यादि अन्य उदाहरण हैं | 

(ii) वह पद जो किसी चर से विभाजित हो जैसे - 

इत्यादि |

(iii) वह बीजीय व्यंजक जिसका घात कोई भिन्नात्मक संख्या (fractional number) हो तो वह बहुपद नहीं होता है | जैसे - 

अर्थात जिस व्यंजक में चर ऐसे घात वाले हो  तो वह बहुपद नहीं कहलाता है |

पद के अनुसार बहुपद (Polynomials) के प्रकार :

(i) एकपदी बहुपद (Mononomials) : जब किसी व्यंजक में केवल एक ही पद हो तो उसे एकपदी बहुपद कहते है | जैसे - 

3x, 3x², 5xyz, 10ab, 2bc, 4x⁴y³, 10 और 3y इत्यादि | 

(ii) द्विपदी बहुपद (Binomials) : जब किसी बीजीयव्यंजक में दो पद (+) या (-) के चिन्हों से जुड़े हो तो वे द्विपदी बहुपद कहलाते हैं | जैसे -  

3x + 5, 4x - 7y, 3x² + 5, 7y⁵ + 6x, 9x + y इत्यादि | 

(iii) त्रिपदी बहुपद (Trinomials) : जब किसी बीजीय व्यंजक में तीन पद (+) या (-) से जुड़े हो तो वह त्रिपदी बहुपद कहलाता है | जैसे - 

2x + 3y + 4, 4y² + 3y - 7, 3x³ + 2x² + 7x और 2x² + 3x - 5 इत्यादि | 

बहुपद की घात (The power of polynomials) : 

किसी बहुपद p(x) के अधिकतम घात को बहुपद की घात कहते हैं | जैसे - 

(i) p(x) = 3x + 3 में बहुपद की घात 1 है | 

(ii) p(x) = 4x² + 3x + 5 में बहुपद की घात 2 है | 

(iii) p(x) = 3x³ + 2x - 7 में बहुपद की घात 3 है | 

(iv) p(x) = 7x⁴ + 5x³ + x - 8 में बहुपद की घात 4 है | 

(v) p(x) = 10 में बहुपद की घात 0 है क्योंकि चर पद नहीं है | 

मुख्य-बिंदु और सूत्र : 

    p(x) = g(x). q(x) + r(x) ;

    जबकि g(x) ≠ 0 तथा r(x) = 0 या घातांक r(x) < घातांक g(x)

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