प्रश्नावली 6.1

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Q1. निम्नलिखित संख्याओं के वर्गों के ईकाई के अंक क्या होंगे?

(i)  81

हल: 81 × 81 में इकाई का अंक 1 का वर्ग 1 × 1 = 1 में इकाई का अंक 1 प्राप्त होता है |

इसलिए 81 के वर्ग में इकाई का अंक 1 होगा |

(ii)  272

हल: 272 × 272  में इकाई का अंक 2 है और 2 का वर्ग 2 × 2 = 4 में इकाई का अंक भी 4 ही  प्राप्त होता है |

इसलिए 272 के वर्ग में इकाई का अंक 4 होगा |

(iii) 799

हल: 799 × 799  में इकाई का अंक 9 है और 9 का वर्ग 9 × 9 = 81 में इकाई का अंक 1 प्राप्त होता है |

इसलिए 799 के वर्ग में इकाई का अंक 1 होगा |

(iv) 3853

हल: 3853 × 3853  में इकाई का अंक 3 है और 3 का वर्ग 3 × 3 = 9 में इकाई का अंक भी 9 प्राप्त होता है |

इसलिए 3853 के वर्ग में इकाई का अंक 9 होगा |

(v) 1234

हल: 1234 × 1234  में इकाई का अंक 4 है और 4 का वर्ग 4 × 4 = 16 में इकाई का अंक भी 6 प्राप्त होता है |

इसलिए 1234 के वर्ग में इकाई का अंक 6 होगा |

(vi) 26387

हल: 26387 × 26387  में इकाई का अंक 7 है और 7 का वर्ग 7 × 7 = 49 में इकाई का अंक भी 9 प्राप्त होता है |

इसलिए 26387 के वर्ग में इकाई का अंक 9 होगा |

(vii) 52698

हल: 52698 × 52698  में इकाई का अंक 8 है और 8 का वर्ग 8 × 8 = 64 में इकाई का अंक भी 4 प्राप्त होता है |

इसलिए 52698 के वर्ग में इकाई का अंक 4 होगा |

(viii) 99880

हल: 99880 × 99880  में इकाई का अंक 0 है और 0 का वर्ग 0 × 0 = 0 में इकाई का अंक भी 0 प्राप्त होता है |

इसलिए 99880 के वर्ग में इकाई का अंक 0 होगा |

(ix) 12796

हल: 12796 × 12796  में इकाई का अंक 6 है और 6 का वर्ग 6 × 6 = 36 में इकाई का अंक भी 6 प्राप्त होता है |

इसलिए 12796 के वर्ग में इकाई का अंक 6 होगा |

(x) 55555

हल: 55555 × 55555  में इकाई का अंक 5 है और 5 का वर्ग 5 × 5 = 25 में इकाई का अंक भी 5 प्राप्त होता है |

इसलिए 55555 के वर्ग में इकाई का अंक 5 होगा |

Q2. निम्नलिखित संख्याएँ स्पष्टरूप से पूर्ण वर्ग संख्याएँ नहीं है, इसका कारण दिजिए |

(i) 1057

हल: पूर्ण वर्ग संख्याओं के इकाई का अंक 1, 4, 5, 6, 9 और 0 युग्म (जोड़े) में होता है जबकि 1057 में इकाई का अंक 7 है अत: यह स्पष्ट रूप से पूर्ण वर्ग नहीं है |

(ii) 23453

हल: पूर्ण वर्ग संख्याओं के इकाई का अंक 1, 4, 5, 6, 9 और 0 युग्म (जोड़े) में होता है जबकि 23453 में इकाई का अंक 3 है अत: यह स्पष्ट रूप से पूर्ण वर्ग नहीं है |

(iii) 7928

हल: पूर्ण वर्ग संख्याओं के इकाई का अंक 1, 4, 5, 6, 9 और 0 युग्म (जोड़े) में होता है जबकि 7928 में इकाई का अंक 8 है अत: यह स्पष्ट रूप से पूर्ण वर्ग नहीं है |

(iv) 222222

हल: पूर्ण वर्ग संख्याओं के इकाई का अंक 1, 4, 5, 6, 9 और 0 युग्म (जोड़े) में होता है जबकि 222222 में इकाई का अंक 2 है अत: यह स्पष्ट रूप से पूर्ण वर्ग नहीं है |

(v) 64000

हल: पूर्ण वर्ग संख्याओं के इकाई का अंक 1, 4, 5, 6, 9 और 0 युग्म (जोड़े) में होता है जबकि 64000 में इकाई का अंक 0 तो है, परन्तु युग्म (जोड़े) में नहीं है| अत: यह स्पष्ट रूप से पूर्ण वर्ग नहीं है |

(vi) 89722

हल: पूर्ण वर्ग संख्याओं के इकाई का अंक 1, 4, 5, 6, 9 और 0 युग्म (जोड़े) में होता है जबकि 89722 में इकाई का अंक 2 है अत: यह स्पष्ट रूप से पूर्ण वर्ग नहीं है |

(vii) 222000

हल: पूर्ण वर्ग संख्याओं के इकाई का अंक 1, 4, 5, 6, 9 और 0 युग्म (जोड़े) में होता है जबकि 222000 में इकाई का अंक 0 तो है, परन्तु युग्म (जोड़े) में नहीं है| अत: यह स्पष्ट रूप से पूर्ण वर्ग नहीं है |

(viii) 505050

हल: पूर्ण वर्ग संख्याओं के इकाई का अंक 1, 4, 5, 6, 9 और 0 युग्म (जोड़े) में होता है जबकि 505050 में इकाई का अंक 0 तो है, परन्तु युग्म (जोड़े) में नहीं है| अत: यह स्पष्ट रूप से पूर्ण वर्ग नहीं है |

Q3. निम्नलिखित संख्याओ में से किस संख्या का वर्ग विषम संख्या होगा ?

(i) 431 (ii) 2826 (iii) 7779 (iv) 82004

हल: (i) 431

431 × 431 में इकाई के अंक 1 का वर्ग 1 है और इकाई का अंक भी विषम संख्या प्राप्त होगा इसलिए 431 के वर्ग एक विषम संख्या होगा |

हल: (ii) 2826

2826 × 2826 में इकाई के अंक 6 का वर्ग 36 है और इकाई का अंक 6 एक सम संख्या प्राप्त होगा इसलिए 2826 के वर्ग एक विषम संख्या नहीं होगा |

हल: (iii) 7779

7779 × 7779 में इकाई के अंक 9 का वर्ग 81 है और इकाई का अंक 1 एक विषम संख्या प्राप्त होगा इसलिए 7779 के वर्ग एक विषम संख्या होगा |

हल: (iv) 82004

82004 × 82004 में इकाई के अंक 4 का वर्ग 16 है और इकाई का अंक 6 एक सम संख्या प्राप्त होगा इसलिए 82004 के वर्ग एक विषम संख्या नहीं होगा |

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