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8. चतुर्भुज

प्रश्नावली 8.1

 

प्रश्नावली 8.1 

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Q1. एक चतुर्भुज के कोण 3 : 5 : 9 :13 के अनुपात में हैं | इस चतुर्भुज के सभी कोण ज्ञात कीजिए |

Solution:

माना ∠A = 3x,  

          ∠B = 5x,

          ∠C = 9x और

          ∠D = 13x,

∴∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360^o 

(किसी चतुर्भुज के चारों कोणों का योग 360^० होता है )

⇒ 3x + 5x + 9x + 13x = 360^o

⇒ 30x = 360^o

अत: सभी कोण

∠A = 3x = 3 × 12^o = 36^o

∠B = 5x = 5 × 12^o = 60^o

∠C = 9x = 9 × 12^o = 108^o

∠D = 13x = 13 × 12^o = 156^o​

Q2. यदि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों, तो दर्शाइए कि वह एक आयत है |

Solution:

दिया है : ABCD एक समांतर चतुर्भुज है |

जिसके विकर्ण AC = BD है |

सिद्ध करना है : ABCD एक आयत है |

प्रमाण : ΔABD तथा ΔABC में

         AD = BC (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजा)

         AB = AB (उभयनिष्ठ)

         BD = AC (दिया है)

SSS सर्वांगसमता नियम से

      ΔABD ≅ ΔABC

∴ ∠A = ∠B (By CPCT) …… (1)

चूँकि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है |

∴ AD || BC और AB एक तिर्यक रेखा है | 

अत: ∠A + ∠B = 180^o  (अंत: आसन्न कोणों का योग)

  ⇒∠A + ∠A = 180^o  ..समीo (1) से

  ⇒2∠A = 180^o

  ⇒∠A = 90^o

(वह समांतर चतुर्भुज जिसकी एक कोण समकोण हो आयत कहलाता है)

अत: ABCD एक आयत है | proved 

Q3. दर्शाइए कि यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करें, तो वह एक समचतुर्भुज होता है।

Solution: 

दिया है : ABCD एक चतुर्भुज है |

जिसके विकर्ण AC तथा BD एक दुसरे को बिंदु O

पर समद्विभाजित करते हैं | जहाँ ∠COD = 90^o है

और AO = CO तथा BO = DO है |

सिद्ध करना है : ABCD एक आयत है |

प्रमाण : ΔAOB तथा ΔCOD में

                AO = CO (दिया है)

                BO = DO (दिया है)

           ∠AOB = ∠COD (शिर्षाभिमुख कोण)

अत: SAS सर्वांगसमता नियम से

ΔAOB ≅ ΔCOD

 ∴ AB = CD (By CPCT) …… (1)

तथा ∠BAO = ∠DCO (एकांतर कोण) (By CPCT)

 ∴ AB || CD   ......... (2) (एकांतर कोण बराबर हो तो रेखाएँ समांतर होती है )

समीo (1) तथा (2) से

ABCD एक समांतर चतुर्भुज है |

(यदि किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर एवं समान्तर हो तो वह समान्तर चतुर्भुज होता है |)

∴ AD = BC ........... (3) (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजा बराबर होती है)

अब ΔAOD तथा ΔCOD में

       AO = CO (दिया है)

       DO = DO (उभयनिष्ठ)

    ∠AOD = ∠COD (90^o प्रत्येक)

अत: SAS सर्वांगसमता नियम से

ΔAOD ≅ ΔCOD

 ∴ AD = CD (By CPCT) …… (4)

समीo (1), (3) तथा (4) से हम पाते हैं |

AB = BC = CD = AD

अत: ABCD एक समचतुर्भुज है | (Proved)

(वह समान्तर चतुर्भुज जिसकी प्रत्येक भुजा बराबर हो समचतुर्भुज होता है |)      

Q4. दर्शाइए कि एक वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं और परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं | 

Solution: 

दिया है : ABCD एक वर्ग है जिसके विकर्ण AC तथा BD एक

दुसरे को बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते है | 

सिद्ध करना है :

(i) AO = CO तथा BO = DO

(ii) AOB = 90^o 

प्रमाण : ΔAOB तथा ΔCOD में

             AB = CD (वर्ग की भुजा) 

       ∠BAO = ∠DCO (एकांतर कोण)

       ∠AOB = ∠COD (शिर्षाभिमुख कोण)

अत: ASA सर्वांगसमता नियम से

ΔAOB ≅ ΔCOD

∴ AO = CO तथा BO = DO  (By CPCT)   ........... (1)

पुन: ΔAOB तथा ΔBOC में

             AB = BC (वर्ग की भुजा) 

            BO = BO (उभयनिष्ठ)

            AO = CO  समीo (1) से 

अत: SSS सर्वांगसमता नियम से

ΔAOB ≅ ΔBOC

​अत: ∠AOB = ∠COB  (By CPCT)   ........... (2)

अब ∠AOB + ∠COB = 180^o  (रैखिक युग्म)

 ⇒∠AOB + ∠AOB = 180^o  समी0 (2) से 

 ⇒2∠AOB = 180^o 

 ⇒∠AOB = 90^o

Proved 

Q5. दर्शाइए कि यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हो और परस्पर समद्विभाजित करें, तो वह एक वर्ग होता है |

Solution: 

दिया है : ABCD एकचतुर्भुज है जिसमें विकर्ण AC = BD है और एक

दुसरे को बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते है | जहाँ AO = CO तथा BO = DO है | 

सिद्ध करना है : ABCD एक वर्ग है | 

प्रमाण : ΔAOB तथा ΔCOD में

                AO = CO (दिया है)

                BO = DO (दिया है)

           ∠AOB = ∠COD (शिर्षाभिमुख कोण)

अत: SAS सर्वांगसमता नियम से

ΔAOB ≅ ΔCOD

 ∴ AB = CD (By CPCT) …… (1)

तथा ∠BAO = ∠DCO (एकांतर कोण) (By CPCT)

 ∴ AB || CD   ......... (2) (एकांतर कोण बराबर हो तो रेखाएँ समांतर होती है )

समीo (1) तथा (2) से

ABCD एक समांतर चतुर्भुज है |

(यदि किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर एवं समान्तर हो तो वह समान्तर चतुर्भुज होता है |)

∴ AD = BC ........... (3) (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजा बराबर होती है)

अब ΔAOD तथा ΔCOD में

       AO = CO (दिया है)

       DO = DO (उभयनिष्ठ)

    ∠AOD = ∠COD (90^o प्रत्येक)

अत: SAS सर्वांगसमता नियम से

ΔAOD ≅ ΔCOD

 ∴ AD = CD (By CPCT) …… (4)

समीo (1), (3) तथा (4) से हम पाते हैं |

AB = BC = CD = AD ........... (5) 

अब, ΔABD तथा ΔABC में

         AD = BC (वर्ग की सम्मुख भुजा)

         AB = AB (उभयनिष्ठ)

         BD = AC (दिया है)

SSS सर्वांगसमता नियम से

      ΔABD ≅ ΔABD

∴ ∠A = ∠B (By CPCT) …… (6)

चूँकि ABCD एक वर्ग है |

∴ AD || BC और AB एक तिर्यक रेखा है | 

अत: ∠A + ∠B = 180^o  (अंत: आसन्न कोणों का योग)

  ⇒∠A + ∠A = 180^o  ..समीo (6) से

  ⇒2∠A = 180^o

  ⇒∠A = 90^o     .......... (7) 

समीo (5) तथा (7) से स्पष्ट है कि 

ABCD एक वर्ग है | Proved 

Q6. समांतर चतुर्भुज ABCD का विकर्ण AC कोण A को समद्विभाजित करता है | दर्शाइए कि

(i) यह ∠C को भी समद्विभाजित करता है |

(ii) ABCD एक समचतुर्भुज है | 

Solution: 

दिया है : ABCD एक समांतर चतुर्भुज है जिसका 

विकर्ण AC कोण A को समद्विभाजित करता है |

सिद्ध करना है : 

(i) AC, ∠C को भी समद्विभाजित करता है |

(ii) ABCD एक समचतुर्भुज है | 

प्रमाण: 

(i) 

ΔABC तथा ΔDAC में,

∠BAC = ∠BAC  (दिया है)

     ∠B = ∠D (समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते है )

     AC = AC (उभयनिष्ठ) 

अत: ASA सर्वांगसमता नियम से 

ΔABC ≅ ΔDAC 

∴ ∠BCA = ∠DCA    (By CPCT) 

अत: विकर्ण AC, ∠C को समद्विभाजित करता है |

​(ii)  

पुन: AB = AD    (By CPCT)   ............................... (1) 

चूँकि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है | 

∴ AB = CD   (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजा ) ......(2) 

और 

    BC = AD   (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजा ) ......(3) 

समीकरण (1), (2) तथा (3) से 

AB = BC = CD = AD 

अत: ABCD एक समचतुर्भुज है | (Proved)

Q7. ABCD एक समचतुर्भुज है | दर्शाइए कि AC कोणों A और C दोनों को समद्विभाजित करता है तथा विकर्ण BD कोणों B तथा D दोनों को समद्विभाजित करता है | 

Solution: 

दिया है : ABCD एक समचतुर्भुज चतुर्भुज है |

सिद्ध करना है : 

(i) AC, ∠A तथा ∠C को भी समद्विभाजित करता है |

(ii) BD, ∠B तथा ∠D को भी समद्विभाजित करता है |

प्रमाण: 

(i) 

ΔABC तथा ΔADC में,

      AB = AD  (समचतुर्भुज की भुजाएँ)

     ∠B = ∠D  (समचतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते है )

     AC = AC (उभयनिष्ठ) 

अत: SAS सर्वांगसमता नियम से 

ΔABC ≅ ΔADC 

∴ ∠BAC = ∠DAC    (By CPCT) ................ (1)

∴ ∠BCA = ∠DCA    (By CPCT)  ................(2) 

समीo (1) तथा (2) से 

विकर्ण AC, ∠A तथा ∠C को समद्विभाजित करता है |

इसी प्रकार हम 

(ii) BD, ∠B तथा ∠D को भी समद्विभाजित करता है | 

को भी सिद्ध कर सकते हैं | 

Q8.  ABCD एक आयत है जिसमें विकर्ण AC दोनों कोण A और C को समद्विभाजित करता है | दर्शाइए कि:

(i) ABCD एक वर्ग है |

(ii) विकर्ण BD दोनों कोण B और D को समद्विभाजित करता है

Solution:

दिया है: ABCD एक आयत है जिसमें विकर्ण AC दोनों कोण A और C को समद्विभाजित करता है |

सिद्ध करना है :

(i) ABCD एक वर्ग है |

(ii) विकर्ण BD दोनों कोण B और D को समद्विभाजित करता है |

प्रमाण:

(i) चूँकि ABCD एक आयत है |

∴    AB = CD .................. (1) आयत की सम्मुख भुजा

और AD = BC .................. (2) आयत की सम्मुख भुजा

अब, ΔABC तथा ΔACD में,

∠BAC = ∠DAC (दिया है ) चूँकि AC कोण A और C को समद्विभाजित करता है |

   AC = AC (उभयनिष्ठ)

   ∠B = ∠D (प्रत्येक 90^o ) आयत के कोण

A.A.S सर्वांगसमता नियम से

ΔABC ≅ ΔACD

∴ AB = AD ..................... (3) (By CPCT /सर्वांगसम त्रिभुज के संगत भाग)

समीकरण (1), (2) और (3) से

AB  = BC = CD = AD

चूँकि ABCD एक आयत है और इसकी प्रत्येक भुजा बराबर भी है |

अत: ABCD एक वर्ग है | Proved

(ii) ΔABD तथा ΔCBD में,

   AB = BC (वर्ग की भुजा)

   BD = BD (उभयनिष्ठ)

   ∠A = ∠C (प्रत्येक 90^o ) वर्ग के कोण

S.A.S सर्वांगसमता नियम से

ΔABD ≅ ΔCBD

​

 Δ ∠

Q9. समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण BD पर दो बिंदु P और Q इस प्रकार स्थित हैं कि DP = BQ है। दर्शाइए कि

(i) Δ APD ≅ Δ CQB

(ii) AP = CQ

(iii) Δ AQB ≅ Δ CPD

(iv) AQ = CP

(v) APCQ एक समान्तर चतुर्भुज है |

Solution:

दिया है : ABCD एक समांतर चतुर्भुज है और DP = BQ है |

सिद्ध करना है :

(i) Δ APD ≅ Δ CQB

(ii) AP = CQ

(iii) Δ AQB ≅ Δ CPD

(iv) AQ = CP

(v) APCQ एक समान्तर चतुर्भुज है |

प्रणाम :

(i) Δ APD तथा  Δ CQB में

      AD = BC  (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजा)

      DP = BQ  (दिया है )

      ∠ADP = ∠CBQ  (एकांतर अत: कोण)

अत:  S.A.S सर्वांगसमता नियम से

∴    Δ APD ≅ Δ CQB

(i) अत: AP = CQ ................... (1) (By CPCT /सर्वांगसम त्रिभुज के संगत भाग)

(iii) Δ AQB तथा Δ CPD में

      AB = DC  (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजा)

      BQ = DP  (दिया है )

      ∠ABQ = ∠CDP  (एकांतर अत: कोण)

अत:  S.A.S सर्वांगसमता नियम से

∴    Δ AQB ≅ Δ CPD

(iv) अत: AQ = CP ................... (2) (By CPCT /सर्वांगसम त्रिभुज के संगत भाग)

(v) समीo (1) तथा (2) से

APCQ एक समान्तर चतुर्भुज है |

Q10. ABCD एक समांतर चतुर्भज है तथा AP और CQ

 शीर्षों A और C से विकर्ण BD पर क्रमशः लम्ब हैं।

दर्शाइए कि

(i) Δ APB ≅ Δ CQD

(ii) AP = CQ

Solution:

दिया है : ABCD एक समांतर चतुर्भज है तथा AP और CQ

 शीर्षों A और C से विकर्ण BD पर क्रमशः लम्ब हैं।

सिद्ध करना है :

(i) Δ APB ≅ Δ CQD

(ii) AP = CQ

प्रमाण:

(i) Δ APB तथा  Δ CQD में,

      AB = CD (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजा)

 ∠ABP = ∠CDQ  (एकांतर अत: कोण)

∠APB = ∠CQD  (प्रत्येक 90^o)  

अत:, ASA सर्वांगसमता नियम से

      Δ APB ≅ Δ CQD

(ii) इसलिए, AP = CQ (By CPCT /सर्वांगसम त्रिभुज के संगत भाग)

Q11. ΔABC और ΔDEF में, AB = DE, AB||DF, BC = EF और BC||EF है | शीर्षों A, B और C को क्रमश: शीर्षों D, E और F से जोड़ा जाता है | दर्शाइए कि

(i) चतुर्भुज  ABED एक समांतर चतुर्भुज है।

(ii) चतुर्भुज  BEFC एक समांतर चतुर्भुज है।

(iii) AD || CF और AD = CF है|

(iv चतुर्भुज  ACFD एक समांतर चतुर्भुज है।

(v) AC = DF है |

(vi) Δ ABC ≅ Δ DEF है |

Solution:

दिया है : ΔABC और ΔDEF में, AB = DE, AB||DF, BC = EF और BC||EF है |

सिद्ध करना है :

(i) चतुर्भुज  ABED एक समांतर चतुर्भुज है।

(ii) चतुर्भुज  BEFC एक समांतर चतुर्भुज है।

(iii) AD || CF और AD = CF है|

(iv चतुर्भुज  ACFD एक समांतर चतुर्भुज है।

(v) AC = DF है |

(vi) Δ ABC ≅ Δ DEF है |

प्रमाण:

(i) चतुर्भुज  ABED में

 AB = DE और AB||DF दिया  है |

∴ चतुर्भुज  ABED एक समांतर चतुर्भुज है |

( यदि किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर हो तो वह समांतर चतुर्भुज होता है )

अब, चूँकि ABED एक समांतर चतुर्भुज है |

∴ AD = BE और AD|| BE .........(1)

(समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजा बराबर और समांतर होती है)

(ii) इसीप्रकार से, चतुर्भुज  BEFC में  

BC = EF और BC||EF दिया है |

∴चतुर्भुज  BEFC एक समांतर चतुर्भुज है |

अत: CF = BE और CF||BE ........... (2) (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख)

(iii) समीo (1) तथा (2) से

AD || CF और AD = CF है|

(चूँकि सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है)

∴चतुर्भुज  ACFD एक समांतर चतुर्भुज है।

इसलिए, AC = DF और AC||DF .......... (3)

(vi) Δ ABC और Δ DEF में,

AB = DE (दिया है)

BC = EF (दिया है)

AC = DF (समीo 3 से)

S.S.S सर्वांगसमता नियम से

Δ ABC ≅ Δ DEF Proved

Q12. ABCD एक समलम्ब है, जिसमें AB || DC और AD = BC है | दर्शाइए कि

(i) ∠ A = ∠ B

(ii) ∠ C = ∠ D

(iii) Δ ABC ≅ Δ BAD

(iv) विकर्ण AC = विकर्ण BD है |

Solution:

दिया है : ABCD एक समलम्ब है,

जिसमें AB || DC और AD = BC है |

सिद्ध करना है :

(i) ∠ A = ∠ B

(ii) ∠ C = ∠ D

(iii) Δ ABC ≅ Δ BAD

(iv) विकर्ण AC = विकर्ण BD है |

रचना : AD के समांतर CE खिंचा |  

प्रमाण: AB || DC ....................... (1) दिया है |

           AD || CE  ...................... (2) रचना से

[चूँकि सम्मुख भुजाओं का प्रत्येक युग्म समांतर हो तो वो समांतर चतुर्भुज होता है] |]

समीकरण (1) तथा (2) से

AECD एक समांतर चतुर्भुज है |

∴ AD = CE .............. (3) [समांतर चतुर्भुज AECD की सम्मुख भुजा]  

जबकि, AD = BC ................... (4) दिया है |

समीo (3) तथा (4) से

BC = CE

∴ ∠2 = ∠3  ............... (5) (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण ... )

AB || CD दिया है और BC एक तिर्यक रेखा है |

∴ ∠2 = ∠5 .............. (6) [अंत: एकांतर कोण]

समीo (5) तथा (6) से हमें प्राप्त होता है |

∠3 = ∠5 ................... (7)

अब DBEC में,

बहिष्कोंण ∠1 = ∠3 + ∠4

या           ∠1 = ∠5 + ∠4  समीo (7) से

या           ∠B = ∠ECD ............ (8)

चूँकि, AECD एक समांतर चतुर्भुज है | 

∴         ∠A = ∠ECD ............... (9) [समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण]

समीo (8) और (9) से

            ∠A = ∠B  .........(10) Proved (i)

(ii) पुन:, ∠D = ∠E  [समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण]

या         ∠D = ∠3 ......... (11)

समीo (7) और (11) से

      ∠D = ∠5

या    ∠D = ∠C  proved(ii)

(iii)    Δ ABC और Δ BAD में

      AD = BC (दिया है)

       AB = AB (उभयनिष्ठ भुजा')

      ∠A = ∠B समीo (10) से

अत: SAS सर्वांगसमता नियम से

      Δ ABC ≅ Δ BAD

(iv)   विकर्ण AC = विकर्ण BD (By CPCT /सर्वांगसम त्रिभुज के संगत भाग)

 ✲ ✱ ✰ - The End -✰ ✱ ✲