NCERT Solutions for Class 9 – Complete Chapter-wise Study Material
6. रेखाएँ और कोण is one of the most important chapters in the Class 9 Mathematics Hindi NCERT Solutions curriculum. This chapter plays a significant role in helping students build a strong conceptual foundation while preparing for school examinations, class tests, unit tests, half-yearly examinations, annual examinations, and CBSE board assessments. The chapter has been carefully designed according to the latest NCERT syllabus, making it an essential part of every student's study plan.
The 6. रेखाएँ और कोण - Class 9 Mathematics Hindi NCERT Solutions available on ATP Education explain every question in a simple, accurate, and step-by-step manner. Each answer is prepared according to the latest CBSE guidelines so that students can understand the concepts clearly without confusion. Whether you are completing your homework, revising before examinations, or strengthening your understanding of the subject, these solutions provide reliable academic support throughout your learning journey.
One of the biggest advantages of studying 6. रेखाएँ और कोण is that it helps students understand important concepts, definitions, examples, and textbook exercises in an organized way. Instead of memorizing answers, students learn how to develop logical thinking, improve analytical skills, and write well-structured answers in examinations. This chapter also helps improve problem-solving ability and encourages conceptual learning, which is essential for scoring higher marks in school and competitive examinations.
Our Class 9 Mathematics NCERT Solutions cover all textbook questions, important exercise questions, and chapter-wise explanations in Hindi Medium. Every solution is written in easy-to-understand language, allowing students to revise the chapter quickly before examinations. Regular practice of these solutions improves confidence, strengthens subject knowledge, and reduces examination stress.
Students preparing for school assessments should carefully study 6. रेखाएँ और कोण because questions from this chapter are frequently asked in objective questions, short answer questions, long answer questions, competency-based questions, and case-study questions. Understanding the concepts explained in this chapter also helps students connect related topics from other chapters, making overall learning more effective and meaningful.
At ATP Education, we continuously update our Class 9 Mathematics Hindi NCERT Solutions according to the latest NCERT textbooks and CBSE curriculum. Students can confidently use these chapter-wise solutions for daily study, homework assistance, quick revision, examination preparation, and self-learning. By studying 6. रेखाएँ और कोण thoroughly and practising every question regularly, students can strengthen their concepts, improve writing skills, and achieve better academic performance in both school and board examinations.
6. रेखाएँ और कोण - Class 9 Mathematics Hindi NCERT Solutions
6. रेखाएँ और कोण
प्रश्नावली 6.1
अभ्यास 6.1
Q1. आकृति. 6.13 में, रेखाएँ AB और CD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं | यदि ∠AOC + ∠ BOE = 70° है और ∠BOD = 40° है तो ∠BOE और प्रतिवर्ती ∠COE ज्ञात कीजिए |
हल:
∠BOD = 40°
∠AOC = ∠BOD (शीर्षाभिमुख कोण)
∠AOC = 40°
∠AOC + ∠ BOE = 70° (दिया है)
∠BOE = 70°
∠BOE = 70° - 40°
∠BOE = 30°
चूँकि, AOB एक सरल रेखा है |
इसलिए, ∠AOC + ∠COE +∠BOE = 180° (रैखिक युग्म)
⇒ 70° + ∠COE = 180°
⇒ ∠COE = 180° - 70°
⇒ ∠COE = 110°
प्रतिवर्ती ∠COE = 360 - 110°
= 250°
Q2. आकृति 6.14 में, रेखाएँ XY और MN बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं | यदि ∠POY = 90° और a : b = 2 : 3 है तो c ज्ञात कीजिए |
हल :
∠POY=90° (दिया है)
माना ∠a और ∠b = 2x और 3x है |
चूँकि, XOY एक सरल रेखा है |
इसलिए, ∠a + ∠b + ∠POY = 180° (रैखिक युग्म)
⇒ 2x + 3x + 90°= 180°
⇒ 5x = 180° - 90°
⇒ 5x = 90°
⇒ x = 90°/5
⇒ x = 18°
अब, ∠a = 2 x 18°
= 36°
∠b =3 x 18°
= 54°
यहाँ, MON भी एक सरल रेखा है |
∠b + ∠c = 180°(रैखिक युग्म)
∠54° + ∠c = 180°
⇒∠c = 180°- 54°
=126°
Q3. आकृति 6.15 में, ∠PQR = ∠PRQ है, सिद्ध कीजिए कि ∠PQS = ∠PRT है |
हल :
दिया है : ∠PQR = ∠PRQ
सिद्ध करना है : ∠PQS = ∠PRT
प्रमाण :
∠PQS + ∠PQR = 180° .................. (1) रैखिक युग्म
∠PRT + ∠PRQ = 180° .................. (2) रैखिक युग्म
समीकरण (1) तथा (2) से
∠PQS + ∠PQR = ∠PRT + ∠PRQ
Or, ∠PQS + ∠PQR = ∠PRT + ∠PQR (∠PQR = ∠PRQ दिया है)
Or, ∠PQS = ∠PRT सिद्ध हुआ |
Q4. आकृति 6.16 में, यदि x + y = w + y है, तो सिद्ध कीजिए कि AOB एक सरल रेखा है|
हल:
दिया है : x + y = w + z
सिद्ध करना है : AOB एक सरल रेखा है |
प्रमाण : x + y + w + z = 360०
अथवा x + y + x + y = 360०
⇒ 2x + 2y = 360०
⇒ 2(x + y) = 360०
⇒ x + y = 180० (रैखिक युग्म)
जब कोई संलग्न दो कोणों का योग 180० होता है तो रेखा सीधी एवं सरल होती है |
अत: AOB एक सरल रेखा है | Proved
Q5. आकृति 6.17 में, POQ एक रेखा है | किरण OR रेखा PQ पर लम्ब है | किरणों OP और OR के बीच में OS एक अन्य किरण है | सिद्ध कीजिए :
हल:
दिया है : POQ एक रेखा है और OR ⊥ PQ तथा OS ∠POR के बीच एक किरण है |
सिद्ध करना है :
प्रमाण : ∠ROQ = 90० ( दिया है )
अब, ∠POR + ∠ROQ = 180० .... रैखिक युग्म
या ∠POR + 90० = 180०
या ∠POR = 180० - 90०
∠ROS = ∠POR - ∠POS ............... (1)
और
∠ROS = ∠QOS - ∠ROQ ............... (2)
समीकरण (1) तथा (2) को जोड़ने पर
∠ROS + ∠ROS = ∠QOS - ∠ROQ + ∠POR - ∠POS
अथवा 2∠ROS = ∠QOS - 90० + 90० - ∠POS
अथवा 2∠ROS = ∠QOS - ∠POS
Proved
Q6. यह दिया है कि ∠ XYZ = 64° है और XY को बिंदु P तक बढाया गया है | दी हुई सुचना से एक आकृति खींचिए | यदि किरण YQ, ∠ ZYP को समद्विभाजित करती है, तो ∠ XYQ और प्रतिवर्ती ∠ QYP के मान ज्ञात कीजिए |
हल :
∠ XYZ = 64°
YQ, ∠ ZYP को समद्विभाजित करती है;
इसलिए
∠ QYP = ∠ ZYQ ............ (1)
XY को बिंदु P तक बढाया गया है |
∴ XYP एक सरल रेखा है |
अत: ∠ XYZ + ∠ QYP + ∠ ZYQ = 180°
(रैखिक युग्म)
64° + ∠ QYP + ∠ QYP = 180°
2∠ QYP = 180° - 64°
2∠ QYP = 116°
∠ QYP = 58°
∠ QYP = ∠ ZYQ = 58°
= 64° + 58°
= 122°
प्रतिवर्ती ∠ QYP = 360° - 58° = 302°
6. रेखाएँ और कोण
प्रश्नावली 6.2
प्रश्नावली 6.2
Q1. आकृति 6.28 में, x और y के मान ज्ञात कीजिए और फिर दर्शाइए कि AB || CD है।
हल :
x + 50° = 180° (रैखिक युग्म)
⇒ x = 180° - 50°
⇒ x = 130°
y = 130°
x = y = 130° (एकांतर कोण गुणधर्म से )
AB || CD
Q2. आकृति 6.29 में, यदि AB || CD, CD || EF और y : z = 3 : 7 है, तो x का मान ज्ञात कीजिए |
हल :
AB || CD ........ (1) दिया है ;
CD || EF ......... (2) दिया है ;
समीकरण (1) तथा (2) से हम पाते है कि
AB || EF ..........(3)
∴ x = z ........ (4) एकांतर कोण
अब, y = 3k तथा z = 7k माना
AB || CD दिया है;
∴ x + y = 180° (एक ही ओर के अंत: कोणों का योग )
अथवा z + y = 180°
⇒ 7k + 3k = 180°
⇒ 10k = 180°
⇒ k = 18°
चूँकि x = z समी० (4) से
∴ x = 7k = 7 × 18° = 126° उत्तर
Q3. आकृति 6.30 में, यदि AB || CD, EF ⊥ CD और ∠ GED = 126° है,तो ∠ AGE, ∠GEF और ∠ FGE ज्ञात कीजिए |
हल : ∠GED = 126°
AB || CD दिया है |
∴ ∠AGE = ∠GED (एकांतर कोण)
अत : ∠AGE = 126°
∠GED = 126°
∠GED = ∠GEF + ∠FED = 126°
∠GEF + ∠FED = 126°
∠GEF + 90° = 126° (∵ EF ⊥ CD ∴ ∠FED = 90°)
∠GEF = 126° - 90°
∠GEF = 36°
अब,
∠AGE + ∠FGE = 180° ( रैखिक युग्म )
126° + ∠FGE = 180°
∠FGE = 180° - 126°
∠FGE = 54°
∠AGE = 126°, ∠GEF = 36° और ∠FGE = 54°
Q4.आकृति 6.31 में, यदिPQ || ST, ∠ PQR = 110° और ∠ RST = 130° है, तो ∠QRS ज्ञात कीजिए |
[संकेत : बिंदु R से होकर ST के समांतर एक रेखा खिचिए |
हल :
रचना : बिंदु R से होकर XY || ST खिंचा |
PQ || ST .............. (1) दिया है |
XY || ST .................(2) रचना से
समी० (1) तथा (2) से
PQ || XY ................. (3)
XY || ST रचना से
∠RST + ∠SRY = 180° (एक ही ओर के अंत:कोणों का योग )
⇒ 130° + ∠SRY = 180°
⇒ ∠SRY = 180° - 130°
⇒ ∠SRY = 50°
PQ || XY ................. (3) से
∴ ∠PQR = ∠QRY (एकांतर कोण)
110° = ∠QRS + ∠SRY
110° = ∠QRS + 50°
∠QRS = 110° - 50°
∠QRS = 60°
Q5 आकृति6.32 में, यदि AB || CD, ∠ APQ = 50° और ∠ PRD = 127° है ,तो x और Y ज्ञात कीजिए |
हल: ∠ APQ = 50° और ∠ PRD = 127°
AB || CD दिया है |
∴ ∠APQ = ∠PQR ( एकांतर कोण )
या x = 50°
पुन: ∠APR = ∠PRD ( एकांतर कोण )
या y + 50° = 127°
या y = 127° - 50°
या y = 77°
x = 50° और y = 77°
Q6.आकृति6.33 में ,PQ और RS दो है जो एक दूसरे के सामान्तर रखे गए है | या आपतन किरण (incident ray )AB,दर्पण PQ से B पर टकराती है और प्रवार्तित किरण (reflected ray ) पथ BC पर टकराती है तथा पुनः CDके अनुदिश प्रवार्तित हो जाती है | सिद्ध कीजिए कि AB||CD है |
हल: 
दिया है: PQ || RS और AB एक आपतन कोण है, CD एक परावर्तित किरण है |
सिद्ध करना है : AB || CD
रचना :
BM ⊥ PQ और CN ⊥ RS खिंचा |
प्रमाण :
BM ⊥ PQ and CN ⊥ RS
∴ BM || CM और BC एक तिर्यक रेखा है |
∴ ∠2 = ∠ 3 ............ (1) (एकांतर अंत:कोण )
जबकि हम जानते है कि -
आपतन कोण = परावर्तन कोण, जहाँ BM और CN अभिलंब हैं |
∴ ∠1 = ∠ 2 .............. (2)
इसीप्रकार,
∴ ∠3 = ∠ 4 .............. (3)
समी०(1) (2) और (3) से हम पाते है |
∠1 = ∠ 4 ................ (4)
समी० (1) तथा (4) को जोड़ने पर
∠1 + ∠2 = ∠ 3 + ∠ 4
∠ABC = ∠ BCD (एकांतर अत: कोण)
इसलिए, AB || CD Proved
6. रेखाएँ और कोण
प्रश्नावली 6.3
प्रश्नावली 6.3
Q1. आकृति 6.39 में, Δ PQR की भुजाओं QP और RQ को क्रमश: बिन्दुओं S और T तक बढाया गया है | यदि ∠SPR = 135° है और ∠ PQT = 110° है, तो ∠ PRQ ज्ञात कीजिए |
हल : 
∠QPR + ∠SPR = 180° ( रैखिक युग्म )
⇒ ∠QPR + 135° = 180°
⇒ ∠QPR = 180° - 135°
⇒ ∠QPR = 45°
इसीप्रकार,
∠PQR + ∠TQP = 180° ( रैखिक युग्म )
⇒ ∠PQR + 110° = 180°
⇒ ∠PQR = 180° - 110°
⇒ ∠PQR = 70°
अब त्रिभुज PQR में,
∠QPR + ∠PQR + ∠PRQ = 180°
45° + 70° + ∠PRQ = 180°
115° + ∠PRQ = 180°
∠PRQ = 180° - 115°
∠PRQ = 65°
Q2. आकृत 6.40 में, ∠ X = 62° और XYZ = 54° है | यदि YO और ZO क्रमश: Δ XYZ के ∠ XYZ और ∠ XZY के समद्विभाजक है, तो ∠ OZY और ∠ YOZ ज्ञात कीजिए |
हल :
Q3. आकृति 6.41में, यदि AB || DE, ∠ BAC = 35° और ∠ CDE = 53° है तो ∠ DCE ज्ञात कीजिए |
हल :
Q4. आकृति, 6.42 में, यदि रेखाएँ PQ और RS बिंदु T पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करती है कि ∠PRT = 40°, ∠ RPT = 95° और ∠ TSQ = 75° है तो ∠ SQT ज्ञात कीजिए |
Q5. आकृति 6.43 में यदि PQ ⊥ PS, PQ || SR, ∠ SQR = 28° और ∠ QRT = 65° है तो x और y के मान ज्ञात कीजिए |
Q6. आकृति 6.44 में, Δ PQR कि भुजा QR को बिंदु S तक बढाया गया है | यदि ∠PQR और
∠ PRS के समद्विभाजक बिंदु T पर मिलते है, तो सिद्ध कीजिए कि ∠ QTR = ½ ∠ QPR है |
Mathematics
Class 9 (Hindi Medium)
NCERT Mathematics Textbook
Chapter-wise NCERT Solutions for Class 6 to 12 prepared according to the latest CBSE syllabus.
Hindi Medium
NCERT Solutions Class 9 Mathematics
Chapter 1. संख्या पद्धति Solutions
1. संख्या पद्धति Open Chapters
Explore Now →
NCERT Solutions Class 9 Mathematics
Chapter 3. निर्देशांक ज्यामिति Solutions
3. निर्देशांक ज्यामिति Open Chapters
Explore Now →
NCERT Solutions Class 9 Mathematics
Chapter 4. दो चरों में रैखिक समीकरण Solutions
4. दो चरों में रैखिक समीकरण Open Chapters
Explore Now →
NCERT Solutions Class 9 Mathematics
Chapter 5. युक्लिड के ज्यामिति का परिचय Solutions
5. युक्लिड के ज्यामिति का परिचय Open Chapters
Explore Now →
NCERT Solutions Class 9 Mathematics
Chapter 6. रेखाएँ और कोण Solutions
6. रेखाएँ और कोण Open Chapters
Explore Now →
NCERT Solutions Class 9 Mathematics
Chapter 7. त्रिभुज Solutions
7. त्रिभुज Open Chapters
Explore Now →
NCERT Solutions Class 9 Mathematics
Chapter 8. चतुर्भुज Solutions
8. चतुर्भुज Open Chapters
Explore Now →
NCERT Solutions Class 9 Mathematics
Chapter 9. समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Solutions
9. समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Open Chapters
Explore Now →
NCERT Solutions Class 9 Mathematics
Chapter 10. वृत्त Solutions
10. वृत्त Open Chapters
Explore Now →
NCERT Solutions Class 9 Mathematics
Chapter 11. रचनाएँ Solutions
11. रचनाएँ Open Chapters
Explore Now →
NCERT Solutions Class 9 Mathematics
Chapter 12. हीरोन सूत्र Solutions
12. हीरोन सूत्र Open Chapters
Explore Now →
NCERT Solutions Class 9 Mathematics
Chapter 13. पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Solutions
13. पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Open Chapters
Explore Now →
NCERT Solutions Class 9 Mathematics
Chapter 14. सांख्यिकी Solutions
14. सांख्यिकी Open Chapters
Explore Now →
NCERT Solutions Class 9 Mathematics
Chapter 15. प्रायिकता Solutions
15. प्रायिकता Open Chapters
Explore Now →
Class 9 NCERT Book Solutions
Chapter-wise NCERT Solutions for Class 6 to 12 prepared according to the latest CBSE syllabus.
ENGLISH MEDIUM
NCERT Solutions Class 9 Mathematics
Class 9 Mathematics Book Solutions
Mathematics Open Book
Explore Now →
NCERT Solutions Class 9 Beehive (English)
Class 9 Beehive (English) Book Solutions
Open Book
Explore Now →
NCERT Solutions Class 9 Mathematics Ganita Manjari
Class 9 Mathematics Ganita Manjari Book Solutions
GANITA MANJARI Open Book
Explore Now →Benefits of Studying NCERT Solutions
Studying from NCERT Solutions helps students build strong conceptual understanding and improve problem-solving skills. These solutions are especially useful for revision because every answer is written according to the marking scheme followed by CBSE.
- Improve conceptual understanding.
- Learn correct answer-writing techniques.
- Prepare effectively for school examinations.
- Complete syllabus revision in less time.
- Practice important textbook questions.
- Build confidence before examinations.
Prepared According to the Latest CBSE Syllabus
All NCERT Book Solutions for Class 9 available on ATP Education are updated according to the latest CBSE curriculum. Whenever NCERT introduces changes in textbooks or syllabus, our study materials are revised accordingly so that students always receive accurate and updated content.
Helpful for Competitive Examinations
NCERT textbooks form the foundation of many competitive examinations. Students preparing for Olympiads, NTSE, CUET, UPSC Foundation, SSC and several entrance examinations can strengthen their basics through these chapter-wise solutions. Understanding NCERT concepts also improves analytical thinking and logical reasoning.
Simple and Student-Friendly Explanations
Our experts prepare every answer in a simple, clear and student-friendly format. Difficult concepts are explained step by step with proper reasoning so that students of every learning level can understand them easily. This approach helps students remember concepts for a longer period and perform confidently during examinations.
Start Learning with ATP Education
Explore the complete collection of NCERT Solutions for Class 9 and begin your preparation with confidence. Every chapter is available online for free and can be accessed anytime. Whether you want to complete homework, revise important chapters or prepare for examinations, ATP Education provides reliable and high-quality study resources to help you achieve academic success.
Explore Subjects
Why Students Choose Us
Free Study Materials
Get completely free NCERT solutions, notes and board preparation resources.
Updated Notes
Latest CBSE and NCERT syllabus based notes for all major classes.
Practice Tests
Improve performance with chapter-wise MCQ tests and quizzes.
Trending Study Materials
2M+
Monthly Students
50K+
Study Notes
10K+
MCQ Questions
500+
Mock Tests