अभ्यास 6.1

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Q1.  आकृति. 6.13 में, रेखाएँ AB और CD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं | यदि  ∠AOC + ∠ BOE = 70° है और ∠BOD = 40° है तो ∠BOE और प्रतिवर्ती ∠COE ज्ञात कीजिए | 

हल:

 ∠BOD = 40°

∠AOC  = ∠BOD (शीर्षाभिमुख कोण)

∠AOC = 40°

∠AOC  + ∠ BOE = 70° (दिया है)

∠BOE = 70°

∠BOE = 70° - 40°

∠BOE = 30°

चूँकि, AOB एक सरल रेखा है | 

इसलिए, ∠AOC +  ∠COE +∠BOE = 180° (रैखिक युग्म)

⇒ 70° + ∠COE = 180°

⇒ ∠COE = 180° - 70°

⇒ ∠COE = 110°

प्रतिवर्ती ∠COE = 360 - 110°

                       = 250°

Q2. आकृति 6.14 में, रेखाएँ  XY और MN बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं | यदि ∠POY = 90° और a : b = 2 : 3 है तो  c  ज्ञात कीजिए | 

हल :

∠POY=90° (दिया है) 

माना  ∠a और ∠b = 2x और 3x है | 

चूँकि, XOY एक सरल रेखा है | 

इसलिए, ∠a + ∠b + ∠POY = 180° (रैखिक युग्म) 

⇒ 2x + 3x + 90°= 180°

⇒ 5x  = 180° ­­- 90°

⇒ 5x = 90°

⇒ x = 90°/5

⇒ x = 18°

अब, ∠a = 2 x 18°

             = 36°

         ∠b =3 x 18°

               = 54°

यहाँ, MON भी एक सरल रेखा है |    

∠b + ∠c = 180°(रैखिक युग्म)

∠54° + ∠c = 180°

⇒∠c = 180°- 54°

          =126°

Q3. आकृति 6.15 में, ∠PQR = ∠PRQ है, सिद्ध कीजिए कि ∠PQS = ∠PRT है | 

हल : 

दिया है : ∠PQR = ∠PRQ

सिद्ध करना है : ∠PQS = ∠PRT

प्रमाण : 

∠PQS + ∠PQR = 180°  .................. (1)  रैखिक युग्म

∠PRT + ∠PRQ = 180°  .................. (2)  रैखिक युग्म

समीकरण (1) तथा (2) से 

       ∠PQS + ∠PQR = ∠PRT + ∠PRQ 

Or,  ∠PQS + ∠PQR = ∠PRT + ∠PQR    (∠PQR = ∠PRQ दिया है) 

Or, ∠PQS = ∠PRT सिद्ध हुआ | 

Q4. आकृति 6.16 में, यदि x + y = w + y है, तो सिद्ध कीजिए कि AOB एक सरल रेखा है| 

हल:

दिया है : x + y = w + z

सिद्ध करना है : AOB एक सरल रेखा है |

प्रमाण : x + y + w + z = 360^०

अथवा   x + y + x + y = 360^०

 ⇒       2x + 2y = 360^०

 ⇒       2(x + y) = 360^०

 ⇒           x + y = 180^०   (रैखिक युग्म) 

जब कोई संलग्न दो कोणों का योग 180^० होता है तो रेखा सीधी एवं सरल होती है | 

अत: AOB एक सरल रेखा है | Proved 

Q5. आकृति 6.17 में, POQ एक रेखा है | किरण OR रेखा PQ पर लम्ब है | किरणों OP और OR के बीच में OS एक अन्य किरण है | सिद्ध कीजिए : 

हल: 

दिया है : ​ POQ एक रेखा है और OR ⊥ PQ तथा OS ∠POR के बीच एक किरण है | 

सिद्ध करना है : 

प्रमाण : ∠ROQ = 90^०    ( दिया है ) 

अब,  ∠POR + ∠ROQ = 180^०     .... रैखिक युग्म 

या     ∠POR + 90^० = 180^० 

या     ∠POR = 180^० - 90^० 

∠ROS = ∠POR - ∠POS          ............... (1) 

और 

∠ROS = ∠QOS - ∠ROQ          ............... (2) 

समीकरण (1) तथा (2) को जोड़ने पर 

            ∠ROS + ∠ROS = ∠QOS - ∠ROQ + ∠POR - ∠POS  

अथवा    2∠ROS = ∠QOS - 90^० + 90^० - ∠POS

 अथवा    2∠ROS = ∠QOS - ∠POS 

               

Proved

Q6. यह दिया है कि ∠ XYZ = 64° है और XY को बिंदु P तक बढाया गया है | दी हुई सुचना से एक आकृति खींचिए | यदि किरण YQ, ∠ ZYP को समद्विभाजित करती है, तो ∠ XYQ और प्रतिवर्ती  ∠ QYP के मान ज्ञात कीजिए | 

हल : 

∠ XYZ = 64°

YQ, ∠ ZYP को समद्विभाजित करती है; 

इसलिए 

∠ QYP =  ∠ ZYQ     ............ (1) 

XY को बिंदु P तक बढाया गया है | 

 ∴ XYP एक सरल रेखा है |

अत: ∠ XYZ + ∠ QYP + ∠ ZYQ = 180°   

                                                    (रैखिक युग्म) 

       64° + ∠ QYP + ∠ QYP = 180°

      2∠ QYP = 180° - 64° 

      2∠ QYP = 116°

        ∠ QYP = 58°

∠ QYP =  ∠ ZYQ = 58°

            =  64° + 58°

            =  122°

प्रतिवर्ती ∠ QYP = 360° - 58° = 302°

 

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प्रश्नावली 6.2

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Q1. आकृति 6.28 में, x और y के मान ज्ञात कीजिए और फिर दर्शाइए कि AB || CD है।

हल : 

   x + 50° =  180°   (रैखिक युग्म) 

⇒   x = 180° -  50°

⇒   x = 130° 

     y  = 130° 

x = y = 130°      (एकांतर कोण गुणधर्म से ) 

AB || CD 

Q2. आकृति 6.29 में, यदि AB || CD, CD || EF और y : z = 3 : 7 है, तो x का मान ज्ञात कीजिए | 

हल :

AB || CD        ........ (1)       दिया है ;

CD || EF       ......... (2)       दिया है ;

समीकरण (1) तथा (2) से हम पाते है कि 

 AB || EF       ..........(3)

∴    x = z         ........ (4)     एकांतर कोण 

अब, y = 3k तथा z = 7k माना 

AB || CD  दिया है;

∴      x + y = 180°    (एक ही ओर के अंत: कोणों का योग ) 

अथवा   z + y = 180° 

⇒    7k + 3k = 180°

⇒        10k =  180° 

 ⇒          k =  18° 

चूँकि  x = z     समी० (4) से 

 ∴   x = 7k = 7 × 18° = 126°  उत्तर

Q3. आकृति 6.30 में, यदि AB || CD, EF ⊥ CD और ∠ GED = 126° है,तो ∠ AGE, ∠GEF   और ∠ FGE ज्ञात कीजिए |

हल : ∠GED = 126°

 AB || CD दिया है | 

∴ ∠AGE = ∠GED    (एकांतर कोण) 

अत : ∠AGE = 126°

∠GED = 126°

∠GED = ∠GEF + ∠FED = 126°

∠GEF + ∠FED = 126°

∠GEF + 90° = 126°    (∵ EF ⊥ CD ∴ ∠FED = 90°)

 ∠GEF = 126° - 90° 

 ∠GEF = 36°

अब,

 ∠AGE + ∠FGE = 180°    ( रैखिक युग्म )

126° + ∠FGE = 180°

∠FGE = 180° - 126° 

∠FGE = 54°

∠AGE = 126°, ∠GEF = 36° और ∠FGE = 54°

Q4.आकृति 6.31 में, यदिPQ || ST, ∠ PQR = 110° और ∠ RST = 130° है, तो ∠QRS ज्ञात कीजिए |

[संकेत : बिंदु R से होकर ST के समांतर एक रेखा  खिचिए |

हल :

रचना : बिंदु R से  होकर XY || ST खिंचा |

PQ || ST    ..............  (1)  दिया है | 

XY || ST    .................(2) रचना से 

समी० (1) तथा (2) से 

PQ || XY   ................. (3) 

XY || ST   रचना से 

    ∠RST + ∠SRY = 180°  (एक ही ओर के अंत:कोणों का योग )

⇒  130° + ∠SRY = 180°

⇒  ∠SRY = 180° - 130°

⇒  ∠SRY = 50°

PQ || XY   ................. (3) से

∴  ∠PQR = ∠QRY    (एकांतर कोण) 

     110° =  ∠QRS + ∠SRY

     110° =  ∠QRS + 50°

∠QRS = 110° - 50°

∠QRS = 60°

Q5  आकृति6.32 में, यदि  AB || CD, ∠ APQ = 50° और ∠ PRD = 127° है ,तो x और Y ज्ञात  कीजिए |

हल: ∠ APQ = 50° और ∠ PRD = 127°

    AB || CD   दिया है |

∴  ∠APQ = ∠PQR      ( एकांतर कोण ) 

या      x = 50°

पुन:  ∠APR  = ∠PRD     ( एकांतर कोण ) 

या    y + 50° = 127°

या    y = 127° - 50° 

या    y = 77°

x = 50° और y = 77°

Q6.आकृति6.33  में ,PQ और RS दो है जो एक दूसरे के सामान्तर रखे गए है | या आपतन किरण (incident ray )AB,दर्पण PQ से B पर टकराती है और प्रवार्तित किरण (reflected ray ) पथ BC पर टकराती है तथा पुनः CDके अनुदिश प्रवार्तित हो जाती है | सिद्ध कीजिए कि  AB||CD है |

हल: 

दिया है: PQ || RS और AB एक आपतन कोण है, CD एक परावर्तित किरण है | 

सिद्ध करना है : AB || CD 

रचना :

BM ⊥ PQ और CN ⊥ RS खिंचा | 

प्रमाण : 

 BM ⊥ PQ and CN ⊥ RS 

∴ BM || CM और BC एक तिर्यक रेखा है | 

∴ ​∠2 = ∠ 3   ............ (1) (एकांतर अंत:कोण ) 

जबकि हम जानते है कि - 

आपतन कोण = परावर्तन कोण, जहाँ BM और CN अभिलंब हैं | 

∴ ​∠1 = ∠ 2   .............. (2) 

इसीप्रकार, 

 ∴ ​∠3 = ∠ 4   .............. (3) 

समी०(1) (2) और (3) से हम पाते है | 

    ∠1 = ∠ 4  ................ (4) 

समी० (1) तथा (4) को जोड़ने पर 

 ∠1 + ∠2 = ∠ 3 + ∠ 4

 ∠ABC = ∠ BCD  (एकांतर अत: कोण) 

इसलिए, AB || CD Proved