प्रश्नावली 10.1 

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Q1. खाली स्थान भरिए:
(i) वृत्त का केन्द्र वृत्त के _________ में स्थित है (बहिर्भाग/अभ्यंतर)।
(ii) एक बिन्दु, जिसकी वृत्त के केन्द्र से दूरी त्रिज्या से अधिक हो, वृत्त के _________ स्थित होता है (बहिर्भाग/अभ्यंतर)।
(iii) वृत्त की सबसे बड़ी जीवा वृत्त का ________ होता है।
(iv) एक चाप _______ होता है, जब इसके सिरे एक व्यास के सिरे हों।
(v) वृत्तखंड एक चाप तथा ______ के बीच का भाग होता है।
(vi) एक वृत्त, जिस तल पर स्थित है, उसे _______ भागों में विभाजित करता है।

उत्तर : 

(i) अभ्यंतर

(ii) बहिर्भाग

(iii) ब्यास

(iv) अर्धवृत

(v) जीवा

(vi) अनंत

Q2. लिखिए, सत्य या असत्य। अपने उत्तर के कारण दीजिए।

(i) केन्द्र को वृत्त पर किसी बिन्दु से मिलाने वाला रेखाखंड वृत्त की त्रिज्या होती है।
(ii) एक वृत्त में समान लंबाई की परिमित जीवाएँ होती हैं।
(iii) यदि एक वृत्त को तीन बराबर चापों में बाँट दिया जाए, तो प्रत्येक भाग दीर्घ चाप होता है।
(iv) वृत्त की एक जीवा, जिसकी लम्बाई त्रिज्या से दो गुनी हो, वृत्त का व्यास है।
(v) त्रिज्यखंड, जीवा एवं संगत चाप के बीच का क्षेत्र होता है।
(vi) वृत्त एक समतल आकृति है।

उत्तर: 

(i) सत्य

(ii) सत्य

(iii) असत्य 

(iv) सत्य

(v) असत्य 

(vi) सत्य 

प्रश्नावली 10.2

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Q1. याद कीजिए कि दो वृत्त सर्वांगसम होते हैं, यदि उनकी त्रिज्याएँ बराबर हों। सिद्ध कीजिए कि सर्वांगसम वृत्तों की बराबर जीवाएँ उनके केन्द्रों पर बराबर कोण अंतरित करती हैं।

हल :

दिया है : O और O’ वाले दो सर्वांगसम

वृत्त हैं जिनकी बराबर जीवाएं AB = PQ है |

सिद्ध करना है :

∠AOB = ∠PO’Q है |

प्रमाण : ΔAOB तथा ΔPO’Q में

           AO = PO’ (सर्वांगसम वृत्त की त्रिज्या बराबर होती है)

           BO = QO’ (सर्वांगसम वृत्त की त्रिज्या)

           AB = PQ (दिया है)

      SSS सर्वांगसमता नियम से

      ΔAOB ≅ ΔPO’Q

अत:  ∠AOB = ∠PO’Q  (BY CPCT) Proved

Q2. सिद्ध कीजिए कि यदि सर्वांगसम वृत्तों की जीवाएँ उनके केन्द्रों पर बराबर कोण अंतरित करें, तो जीवाएँ बराबर होती हैं।

हल :

दिया है : O और O’ वाले दो सर्वांगसम

वृत्त हैं जिनमें ∠AOB = ∠PO’Q है |

सिद्ध करना है :

AB = PQ है |

प्रमाण : ΔAOB तथा ΔPO’Q में

           AO = PO’ (सर्वांगसम वृत्त की त्रिज्या बराबर होती है)

           BO = QO’ (सर्वांगसम वृत्त की त्रिज्या)

        ∠AOB = ∠PO’Q (दिया है)

      SSS सर्वांगसमता नियम से

       ΔAOB ≅ ΔPO’Q

अत:      AB = PQ  (BY CPCT) Proved

Exercise 10.3 

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Q1. वृत्तों के कई जोड़े (युग्म) खींचिए। प्रत्येक जोड़े में कितने बिन्दु उभयनिष्ठ हैं? उभयनिष्ठ बिन्दुओं की अधिकतम संख्या क्या है?

Q2. मान लीजिए आपको एक वृत्त दिया है। एक रचना इसके केंद्र को ज्ञात करने के लिए दीजिए।

हल : रचना के पद :

(i) दिया हुआ बिना केंद्र वाला एक खिंचा |

(ii) वृत्त पर तीन असंरेखी बिन्दुएँ A, B तथा C डाला और A को B से और B को C से मिलाया |

(iii) रेखाखंड AB और BC का लंब समद्विभाजक खिंचा जो एक दुसरे को बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं |

(iv) बिंदु O ही दिए गए वृत्त का अभीष्ट केंद्र है |

Q3. यदि दो वृत्त परस्पर दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि उनके केंद्र उभयनिष्ठ जीवा के लम्ब समद्विभाजक पर स्थित हैं।

हल :

दिया है : O और O’ वाले दो वृत्त एक

दुसरे को बिन्दुओं A और B पर प्रतिच्छेद करती हैं |

अत: उभयनिष्ठ जीवा AB है |

दिया है : O और O’ वाले दो वृत्त एक

दुसरे को बिन्दुओं A और B पर प्रतिच्छेद करती हैं |

अत: उभयनिष्ठ जीवा AB है | 

अब चूँकि AB एक सरल रेखा है | 

​

हल :

AO = 5 cm

AO’ = 3 cm

OO’ = 4 cm

AB = ? 

Q2. यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएँ वृत्त के अन्दर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि एक जीवा के खंड दूसरी जीवा के संगत खंडों के बराबर हैं।

हल :

दिया है : O केंद्र वाले वृत्त की दो बराबर

जीवाएं AB तथा CD हैं | जो एक दुसरे को

बिंदु E पर प्रतिच्छेद करती हैं |

सिद्ध करना है : AE = CE और BE = DE है |

रचना : O से M तथा N को मिलाया | 

या    AM = CN   ...... (2)

या    BM = DN   ....... (3)

अब समीकरण (2) में से (1) घटाने पर

  AM – EM = CN – EN

या  AE = CE  Proved (i)

अब समीकरण (3) में (1) जोड़ने पर

  BM + EM = DN + EN

या  BE = DE Proved (ii)

अत: AE = CE और BE = DE है |

इसलिए जीवा के संगत अंत:खंड बराबर हैं | 

Q3. यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएँ वृत्त के अन्दर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि प्रतिच्छेद बिन्दु को केंद्र से मिलाने वाली रेखा जीवाओं से बराबर कोण बनाती है।

हल :

दिया है : O केंद्र वाले वृत्त की दो बराबर जीवायें

AB तथा CD वृत्त के अन्दर बिंदु E पर

प्रतिच्छेद करती हैं |

रचना : E को केंद्र O से मिलाया | 

Q4. यदि एक रेखा दो संकेंद्री वृतों (एक ही केंद्र वाले वृत्त) को, जिनका केंद्र O है, A, B, C और D पर प्रतिच्छेद करे, तो सिद्ध कीजिए AB = CD है |

हल :

दिया है : दो संकेंद्री वृत्त जिनका केंद्र O है |

एक रेखा वृत्त को A, B, C और D पर प्रतिच्छेद

करती हैं |

Q5. एक पार्क में बने 5 m त्रिज्या वाले वृत्त पर खड़ी तीन लड़कियाँ रेशमा, सलमा एवं मनदीप खेल रही हैं। रेशमा एक गेंद को सलमा के पास, सलमा मनदीप के पास तथा मनदीप रेशमा के पास फेंकती है। यदि रेशमा तथा सलमा के बीच और सलमा तथा मनदीप के बीच की प्रत्येक दूरी 6 m हो, तो रेशमा और मनदीप के बीच की दूरी क्या है?

हल :

वृत्त का केंद्र O और और माना कि वृत्त पर

रेशमा (R), सलमा (S) और मनदीप (M) है |

RS = 6 m, SM = 6 m और RM = ?

OR = OS = 5 cm है |

ΔROS  में,

a = 5 cm, b = 5cm और c = 6 cm 

​

RM = 2 × RN

RM = 2 × 4.8

    = 9.6 m

अत: रेशमा और मनदीप की बीच की दुरी 9.6 है | 

Q6. 20 m त्रिज्या का एक गोल पार्क (वृत्ताकार) एक कालोनी में स्थित है। तीन लड़के अंकुर, सैयद तथा डेविड इसकी परिसीमा पर बराबर दूरी पर बैठे हैं और प्रत्येक के हाथ में एक खिलौना टेलीफोन आपस में बात करने के लिए है। प्रत्येक फोन की डोरी की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

हल :

माना अंकुर की स्थिति A, सैयद की S और डेविड की D है |

अत: फोन की डोरी की लंबाई AS = SD = AD = x m है |

वृत्त की त्रिज्या AO = OS = OD = 20 m है | 

​

Q1. आकृति 10.36 में, केंद्र O वाले एक वृत्त पर तीन बिंदु A, B और C इस प्रकार हैं कि ∠BOC = 30^० तथा ∠AOB = 60^० है | यदि चाप ABC के अतिरिक्त वृत्त पर D एक बिंदु है, रो ∠ADC ज्ञात कीजिए |

हल :

     ∠AOC = 2 ∠ADC  (प्रमेय 10.8 से )

[ एक चाप द्वारा वृत्त के केंद्र पर अंतरित कोण वृत्त के शेष भाग के किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दुगुना होता है | ] 

 

Q2. किसी वृत्त की एक जीवा वृत्त की त्रिज्या के बराबर है | जीवा द्वारा लघु चाप के किसी बिंदु पर अंतरित कोण ज्ञात कीजिए तथा दीर्घ चाप के किसी बिंदु पर भी अंतरित कोण ज्ञात कीजिए |

हल : 

​

चाप AB त्रिज्याएँ OA तथा OB के बराबर है |

इसलिए ΔAOB एक समबाहु त्रिभुज है |

अत: ∠AOB = 60^० (समबाहु त्रिभुज के प्रत्येक कोण)

अब, ∠AOB = 2∠APB 

(वृत्त के केंद्र पर बना कोण शेष वृत्त पर बने कोण का दुगुना होता है)

या    60^० = 2∠APB  

​

Q3. आकृति 10.37 में, ∠PQR = 100^० है, जहाँ P, Q तथा R केंद्र O वाले एक वृत्त पर स्थित बिंदु हैं | ∠OPR ज्ञात कीजिए |

हल : 

दिया है - ∠PQR = 100^० है |

चूँकि (वृत्त के केंद्र पर बना कोण शेष वृत्त पर बने कोण का दुगुना होता है)

इसलिए ∠POR = 2 ∠PQR

या     ∠POR = 2 × 100^०

या     ∠POR = 200^०

अब प्रतिवर्ती ∠POR = 360^० - 200^०

या  प्रतिवर्ती ∠POR = 160^०

ΔPOR में, PO = RO (एक ही वृत्त की त्रिज्या)

इसलिए ∠OPR = ∠ORP  ........(1) (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)

अब,  ∠OPR + ∠ORP + ∠POR = 180^०  (तीनों कोणों का योग)

या    ∠OPR + ∠OPR + 160^० = 180^०  समी० (1) से

या    2 ∠OPR = 180^० - 160^०  

या    2 ∠OPR = 20^०

Q4. आकृति 10.38 में, ∠ABC = 69^० और ∠ACB = 31^० हो, तो ∠BDC ज्ञात कीजिए |

हल : 

ΔABC में,

      ∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180^० (त्रिभुज के तीनों का योग)

या    69^० + 31^० + ∠BAC = 180^०

या    100^० + ∠BAC = 180^०

या    ∠BAC = 180^० - 100^०

या    ∠BAC = 80^०

अब चूँकि ∠BAC = ∠BDC

इसलिए, ∠BDC = 80^०

Q5. आकृति 10.39 में, एक वृत्त पर A, B, C और D चार बिंदु हैं | AC और BD एक बिंदु E पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि ∠BEC = 130° तथा ∠ECD = 20° है | ∠BAC ज्ञात कीजिए |

हल : 

BED एक सरल रेखा है |

इसलिए, ∠BEC + ∠CED = 180^० (रैखिक युग्म)

या      130° + ∠CED = 180^०

या              ∠CED = 180^० - 130°

या              ∠CED = 50°

अब    ∠BAC = ∠CED [क्योंकि एक ही वृत्त खंड में बने कोण बराबर होते हैं]

इसलिए ∠BAC = 50°

Q6. ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसके विकर्ण एक बिन्दु E पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि ∠DBC = 70° और ∠BAC = 30° हो, तो ∠BCD ज्ञात कीजिए। पुनः यदि AB = BC हो, तो  ∠ECD ज्ञात कीजिए ।

हल : 

दिया है कि ∠DBC = 70° और ∠BAC = 30° है |

अब,  ∠BAC = ∠BDC [एक ही वृत्त खंड में बने कोण बराबर होते हैं]

इसलिए, ∠BDC = 30°  ...... (1)

अब DBCD में,

∠BDC = 30°, ∠DBC = 70° और ∠BCD = ?

अब  ∠BDC + ∠DBC + ∠BCD = 180° [त्रिभुज के तीनों कोणों का योग]

या   30° + 70° + ∠BCD = 180°  समी० (1) से

या   100° + ∠BCD = 180°

या  ∠BCD = 180° - 100°

या  ∠BCD = 80°

अब,       AB = BC दिया है

इसलिए, ∠BAC = ∠BCA ...... (2) [बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं]

अब चूँकि ∠BAC = 30° है |

इसलिए ∠BCA = 30°  समी० (2) से

या   ∠ECB = 30° 

चूँकि  ∠BCD = 80° है |

या   ∠ECB + ∠ECD = 80°

या   30° + ∠ECD = 80°

या   ∠ECD = 80° - 30°= 50°

अत: ∠ECD = 50° और ∠BCD = 80° है |

Q7. यदि एक चक्रीय चतुर्भुज के विकर्ण उसके शीर्षों से जाने वाले वृत्त के व्यास हों, तो सिद्ध कीजिए कि वह एक आयत है।

हल :

दिया है : ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है

जिसके विकर्ण AC तथा BD बिंदु O पर

प्रतिच्छेद करते हैं ।

सिद्ध करना है : ABCD एक आयत है ।

प्रमाण : ΔAOB तथा ΔCOD में

           OA = OC (एक ही वृत्त कि त्रिज्यायें)

           OB = OD (एक ही वृत्त कि त्रिज्यायें)

        ∠AOB = ∠COD (शिर्षाभिमुख कोण)

      SAS सर्वांगसमता नियम से

       ΔAOB ≅ ΔCOD

अत:       AB = CD  ....(1)  (By CPCT)

और    ∠BAO = ∠DCO एकांतर कोण

अत:    AB ॥ CD ...(2)

समी० (1) तथा (2) से  

ABCD एक समांतर चतुर्भुज है ।

अब BD विकर्ण वृत्त का ब्यास है (दिया है)

इसलिए ∠A = 90° तथा ∠C = 90° है । [अर्धवृत्त में बना कोण 90° होता है]

अत: ABCD एक आयात है ।

(वह समांतर चतुर्भुज जिसका एक कोण समकोण हो वह आयत कहलाता है) 

Q8. यदि एक समलंब की असमांतर भुजाएँ बराबर हों, तो सिद्ध कीजिए कि वह चक्रीय है।

हल :

दिया है : ABCD एक समलंब है जिसमें

AB || CD है और AD = BC है |

सिद्ध करना है :

ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है |

प्रमाण : ΔACD तथा ΔBDC में

         AD = BC (दिया है)

         DC = DC (दिया है)

      ∠DAC = ∠CBD (एक ही वृत्त खंड में बने कोण)

   SAS सर्वांगसमता नियम से

      ΔACD ≅ ΔBDC

अत:     ∠D = ∠C ..... (1)  By CPCT  

अब चूँकि AB || CD दिया है

इसलिए, ∠A + ∠D = 180° (अत: आसन्न कोणों का योग)

या      ∠A + ∠C = 180°  समी० (1)से

अत: ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है | Proved

Q9.  दो वृत्त दो बिन्दुओं B और C पर प्रतिच्छेद करते हैं । B से जाने वाले दो रेखाखंड ABD और PBQ वृतों को A, D और P, Q पर क्रमश: प्रतिछेद करते हुए खींचे गए हैं । सिद्ध कीजिए कि ∠ACP = ∠QCD है |

हल :   

सिद्ध करना है : ∠ACP = ∠QCD

प्रमाण :

चाप AP बने कोण ∠ABP तथा ∠ACP हैं |

अत:  ∠ABP = ∠ACP  ........... (1) [एक ही वृत्त खंड में बने कोण]

अब,  ∠ABP = ∠QBD  ........... (2) [शिर्षाभिमुख कोण]

समीकरण (1) तथा (2) से

      ∠ACP = ∠QBD ........... (3)

पुन:   ∠QCD = ∠QBD .......... (4) [एक ही वृत्त खंड में बने कोण]

अत: समीकरण (3) तथा (4) से

∠ACP = ∠QCD  Proved 

Q10. यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को व्यास मानकर वृत्त खींचे जाएँ, तो सिद्ध कीजिए कि इन वृत्तों का प्रतिच्छेद बिन्दु तीसरी भुजा पर स्थित है।

हल :  

दिया है : ABC एक त्रिभुज है जिसकी भुजाओं

AB तथा AC को व्यास मानकर O तथा O' वाले

दो वृत्त खिंचा है | उभयनिष्ठ जीवा AD है |

सिद्ध करना है : बिंदु D BC पर स्थित है |

प्रमाण : AB O केंद्र वाले वृत्त का व्यास है |

अत: ∠ADB = 90° .......... (1) (अर्धवृत में बना कोण समकोण होता है)

अब, AC O' वाले वृत्त का व्यास है ।

अत: ∠ADC = 90° .......... (2) (अर्धवृत में बना कोण समकोण होता है)

समीकरण (1) तथा (2) जोड़ने पर

      ∠ADB + ∠ADC = 90° + 90°

या    ∠ADB + ∠ADC = 180°  [रैखिक युग्म]

अत: BDC एक सरल रेखा है जिसपर बिंदु D स्थित है | Proved

∠ Δ ≅