मुख्य-बिंदु और सूत्र : 

 

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प्रकृति ज्ञात करने के लिए कार्यकारी नियम; विविक्तकर ज्ञात कीजिए  (D = b2 – 4ac)  विविक्तकर को D से सूचित करते हैं| द्विघात समीकरण की प्रकृति: जब: D = 0   [प्रकृति:दो समान एवं वास्तविक मूल होते है|] जब D = 0, हो तो वह समीकरण पूर्ण वर्ग होता है | D > 0   [प्रकृति: दो भिन्न एवं वास्तविक मूल होते हैं |] D < 0   [प्रकृति: कोई वास्तविक मूल नहीं होता है |]

Q1. निम्नलिखित द्विघात समीकरण के प्रकृति ज्ञात कीजिए |

(a) 2x² – 3x + 1 = 0

Sol: a = 2, b = - 3, c = 1

D = b² – 4ac

   = (- 3)² – 4 × 2 × 1

   = 9 – 8

   = 1

D = 1

∴ D > 0

अत: प्रकृति: दो भिन्न एवं वास्तविक मूल होगा |  

(b) 5x² + x + 2 = 0 

(c) 4x² – 7x + 6 = 0 

(d) x² + 4x – 7 = 0 

(e) x² – 9x + 10 = 0 

(f) 4x² + 20x + 25 = 0 

(g) 3x² + 7x + 11 = 0 

(h) 5x² – 13x + 15 = 0 

(i) x² + 6x + 9 = 0 

(j) x² – 14x + 49 = 0 

(k) 2x² – 5x + 7 = 0 

(l) 3x² – 2√6x + 2 = 0 

(m) x² -3x – 10 = 0 

(n) 2x² + x – 6 = 0 

(o) 2x² – 5x + 3 = 0 

(p) 5x² – 6x – 2 = 0 

Q2. k का मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए x = 2, समीकरण kx² + 2x – 3 = 0 का हल है |

Solution:

दिया है  x = 2 समीकरण का हल है

x = 2 समीकरण को संतुष्ट करता है |  

kx² + 2x – 3 = 0

k (2)² + 2 (2) – 3 = 0

4k + 4 – 3 = 0

4k + 1 = 0

4k = – 1

Q3.  k का मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए x = a, समीकरण x² – (a + b)x + k = 0 का हल है |

Q4.  k का मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए x = √2, समीकरण kx² + √2x – 4 = 0 का एक हल है 

 

Q6. समीकरण 3x² + 8x – 5 = 0 को x के लिए गुणनखंड विधि से हल कीजिए |

Q7. x के लिए हल कीजिए : 

Q13.  यदि -4 द्विघात समीकरण equation x² + px – 4 = 0 का एक मूल है और द्विघात समीकरण x² + px + k = 0 के बराबर एवं वास्तविक मूल है तो p तथा k का मान ज्ञात कीजिए |

Q14.  k का मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए समीकरण x² – 4x + k = 0 के वास्तविक एवं भिन्न मूल होंगे ?

Q15. k का मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए समीकरण x² + 5kx + 16 = 0 के कोई मूल नहीं है ?

Q16.  k का मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए द्विघात समीकरण (k + 4)x² + (K + 1) x + 1 = 0 के बराबर एवं वास्तविक मूल हैं |

Q17.  द्विघात समीकरण 4x² – kx + 1 = 0 को पूर्ण वर्ग होने के लिए k का मान क्या होना चाहिए |

Q18.  k के किस मान के लिए समीकरण (k + 1) x² – 2(k -1) x +1=0 एक पूर्ण वर्ग है |

Q19.  k के किस मान के लिए समीकरण 9x² – 24x + k = 0 एक पूर्ण वर्ग है |

Q20.  यदि समीकरण (b – c) x² + (c – a) x + (a – b) = 0 के मूल वास्तविक एवं समान हो तो सिद्ध कीजिए कि 2b = a + c है |

Q21. यदि समीकरण (c² – ab) x² – 2(a² – bc)x + b² – ac = 0 के मूल समान हो तो सिद्ध कीजिए कि a = 0 या a³ + b³ + c³ = 3abc है | 

​Q23.  दो संख्याओं का योग 25 है और उनका गुणनफल 156 है तो संख्याएं ज्ञात कीजिए |

Q24. दो क्रमागत विषम संख्याओं का गुणनफल 2703 है तो संख्याएँ ज्ञात कीजिए |  

Q29. यदि एक पुस्तक की कीमत 5 कम होता है तो एक व्यक्ति 300 में 5 पुस्तकें अधिक खरीद सकता है | तो पुस्तक की वास्तविक सूचि मूल्य ज्ञात कीजिए |

Q30. सुमन की आयु अरुषि की आयु से 2 अधिक है | यदि उनकी आयु के वर्गों का योग 74 है तो उनकी आयु ज्ञात कीजिए |

Q31. रुo 6500 को कुछ व्यक्तियों में बाँटा जाना है| यदि 15 व्यक्ति और बढ़ जाते है तो प्रत्येक को रुo 30 कम प्राप्त होता है | तो व्यक्तियों की वास्तविक संख्या ज्ञात कीजिए |

हल:

माना कि व्यक्तियों की वास्तविक संख्या = x है |

रुपये जिसको x व्यक्तियों में बांटना है = 6500

x² + 15x = 3250

x² + 15x – 3250 = 0

⇒x² + 65x - 50x - 3250 = 0

⇒ x( x + 65) - 50(x + 65) = 0

⇒(x + 65) (x - 50) = 0

x + 65 = 0, x - 50 = 0

x = - 65, x = 50

अत: व्यक्तियों की वास्तविक संख्या = 50 है |

Q32. दो अंकों की एक संख्या ऐसी है कि उनका गुणनफल 14 है | जब इस संख्या में 45 जोड़ा जाता है तो इसके अंक बदल जाते हैं | संख्या ज्ञात कीजिए |

Q33. 16 को दो भागों में इस प्रकार विभाजित कीजिए कि बड़े भाग का वर्ग का दुगुना छोटे भाग के वर्ग से 164 अधिक है |

Q34. एक नाव की शांत जल में चाल 15 km/hr है | यह धारा के प्रतिकूल तथा धारा के अनुकूल 4 घंटे 30 मिनट में 30 km जा सकता है | धारा की चाल ज्ञात कीजिए |

Q35. एक वायुयान अपने निर्धारित समय से 30 मिनट देर से उडान भरती है और इसे अपने 1500 km के गंतव्य तक समय पर पहुँचने के लिए अपनी चाल को सामान्य चाल से 250 km/hr बढ़ाना पड़ता है | विमान की समान्य चाल ज्ञात कीजिए |  

Q36. एक आयताकार खेत का परिमाप 82 m है और इसका क्षेत्रफल 400 m² है तो इसकी विमाएँ ज्ञात कीजिए |

Q37. दो अंकों वाली एक संख्या अपने अंकों के योग के चार गुना है और अंकों के गुणनफल का तिगुना है, तो संख्या ज्ञात कीजिए |  

Q38. एक फ़ास्ट रेलगाड़ी 600 km की यात्रा धीमी चलने वाली रेलगाड़ी से 3 घंटे कम समय लेती है | यदि धीमी चलने वाली रेलगाड़ी की चाल फ़ास्ट रेलगाड़ी से 10 km कम है, दोनों रेलगाड़ियों की चाल ज्ञात कीजिए |

Q39. एक पिता और पुत्र की आयु का योग 45 वर्ष है | पाँच वर्ष पूर्व उनकी आयु का गुणनफल (वर्षों में) 124 था | उनकी वर्त्तमान आयु ज्ञात कीजिए |

Q40. एक समकोण त्रिभुज का कर्ण 3√5  cm है | यदि छोटी भुजा को तिगुना और बड़ी भुजा को दुगुना कर दिया जाता है तो नया कर्ण 15 cm हो जायेगा | तो प्रत्येक भुजा की लम्बाई ज्ञात कीजिए |

Q41. एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल 60 cm² है और इसकी प्रत्येक बराबर भुजाएं 13 cm है, तो इसकी आधार की लंबाई ज्ञात कीजिए |

Q42. यदि एक हवाई जहाज यह अपने सामान्य चाल में 100 km/hr की वृद्धि कर लेता है तो 1200 km की यात्रा करने में 1 घंटा कम समय लेता है | तो जहाज की समान्य चाल ज्ञात कीजिए |

Q43. यदि एक खिलौने का सूचि मूल्य रुo 2 कम कर दिया जाता है तो एक व्यक्ति रुo 360 में 2 खिलौने अधिक खरीद सकता है | खिलौने का वास्तविक मूल्य ज्ञात कीजिए |

Q44. एक सवारी रेलगाड़ी यदि अपनी समान्य चाल से 5 km/hr की चाल में वृद्धि करती है तो यह 300 km की यात्रा पूरी करने में 2 घंटा कम समय लेती है | रेलगाड़ी की समान्य चाल ज्ञात कीजिए |  

Q45. एक दुकानदार 80 रुo मूल्य की कुछ पुस्तकें खरीदता है | यदि वह 4 और अधिक पुस्तकें  उसी मूल्य की खरीदता तो प्रत्येक की कीमत 1 रुo कम हो जाता | तो बताइए कि उसने कुल कितनी पुस्तकें खरीदी | 

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